Verifique por substituição que a solução geral de onda estacionária
\psi(x)=A \operatorname{sen} k_{1} x+B \cos k_{1} x, \quad \text { em que } k_{1}=\frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar}, \quad \text { para } \quad 0<x<a

Passo 1

Enunciado e informações dadas (o que a questão pede):
  • Foi dada a função \psi(x)=A \sin k_{1} x + B \cos k_{1} x válida no intervalo 0<x<a.
  • Foi dada a definição de k_{1}:
k_{1}=\frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar}.
  • O pedido é: verificar por substituição que essa \psi(x) é solução da equação de onda estacionária (a equação diferencial que descreve a parte espacial da equação de Schrödinger no trecho onde o potencial é zero). A forma útil dessa equação, para 0<x<a e V=0, é
\psi''(x) + k_{1}^{2}\psi(x)=0,
ou, equivalentemente,
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)=E\psi(x).
  • Resumindo: precisamos calcular \psi''(x), substituir na equação \psi''(x)+k_{1}^{2}\psi(x)=0 e mostrar que a igualdade é satisfeita para todo x\in(0,a).

Passo 2

Regra de diferenciação que vamos usar (pequena aula):
  • Se f(x)=\sin(\alpha x) então, pela regra da cadeia, f'(x)=\alpha\cos(\alpha x).
  • Se g(x)=\cos(\alpha x) então g'(x)=-\alpha\sin(\alpha x).
    Aqui \alpha será \;k_{1}. Vou aplicar essas regras passo a passo às parcelas de \psi(x).

Passo 3

Calculemos a primeira derivada \psi'(x). Começando de
\psi(x)=A\sin(k_{1}x)+B\cos(k_{1}x),
aplicando as regras dadas:
  • Derivada de A\sin(k_{1}x) é A\cdot k_{1}\cos(k_{1}x).
  • Derivada de B\cos(k_{1}x) é B\cdot(-k_{1}\sin(k_{1}x)).
    Assim,
\psi'(x)=A k_{1}\cos(k_{1}x)-B k_{1}\sin(k_{1}x).

Passo 4

Calculemos a segunda derivada \psi''(x) diferenciando \psi'(x). Partes:
  • Derivada de A k_{1}\cos(k_{1}x): usando regra da cadeia, é A k_{1}\cdot(-k_{1}\sin(k_{1}x))=-A k_{1}^{2}\sin(k_{1}x).
  • Derivada de -B k_{1}\sin(k_{1}x): é -B k_{1}\cdot(k_{1}\cos(k_{1}x))=-B k_{1}^{2}\cos(k_{1}x).
    Somando,
\psi''(x)=-A k_{1}^{2}\sin(k_{1}x)-B k_{1}^{2}\cos(k_{1}x).

Passo 5

Relacionando \psi''(x) com \psi(x): observe que os termos em \psi''(x) são exatamente -k_{1}^{2} vezes os termos em \psi(x). Escrevendo isso:
\psi''(x)=-k_{1}^{2}\bigl(A\sin(k_{1}x)+B\cos(k_{1}x)\bigr)=-k_{1}^{2}\psi(x).

Passo 6

Verificação da equação de onda estacionária: substituímos \psi''(x)=-k_{1}^{2}\psi(x) em \psi''(x)+k_{1}^{2}\psi(x)=0. Fazendo a substituição obtemos
(-k_{1}^{2}\psi(x))+k_{1}^{2}\psi(x)=0,
ou seja, 0=0. Logo a igualdade é satisfeita para todo x\in(0,a). Alternativamente, multiplicando ambos os lados por -\hbar^{2}/(2m) e usando a definição de k_{1} dada, obtemos a forma energética
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)=E\psi(x),
confirmando que a função satisfaz a equação de Schrödinger no trecho onde V=0.

Passo 7

Comentário didático sobre “solução geral”: a equação \psi''+k_{1}^{2}\psi=0 é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela tem exatamente duas soluções independentes (por exemplo \sin(k_{1}x) e \cos(k_{1}x)). A combinação linear com constantes arbitrárias A e B é, portanto, a solução geral. Intuitivamente isso significa que quaisquer condições de contorno lineares (por exemplo valores de \psi e \psi' em um ponto) podem ser satisfeitas escolhendo A e B adequadamente.

Resposta

\psi(x)=A\sin(k_{1}x)+B\cos(k_{1}x) satisfaz \psi''(x)+k_{1}^{2}\psi(x)=0 com k_{1}=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, portanto é solução da equação de Schrödinger -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)=E\psi(x) para 0<x<a.

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