Verifique por substituição que a solução geral de onda estacionária
Passo 1
Enunciado e informações dadas (o que a questão pede):
- Foi dada a função
válida no intervalo . - Foi dada a definição de
:
- O pedido é: verificar por substituição que essa
é solução da equação de onda estacionária (a equação diferencial que descreve a parte espacial da equação de Schrödinger no trecho onde o potencial é zero). A forma útil dessa equação, para e , é
ou, equivalentemente,
- Resumindo: precisamos calcular
, substituir na equação e mostrar que a igualdade é satisfeita para todo .
Passo 2
Regra de diferenciação que vamos usar (pequena aula):
- Se
então, pela regra da cadeia, . - Se
então .
Aquiserá . Vou aplicar essas regras passo a passo às parcelas de .
Passo 3
Calculemos a primeira derivada
. Começando de
aplicando as regras dadas:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Assim,
Passo 4
Calculemos a segunda derivada
diferenciando
. Partes:
- Derivada de
: usando regra da cadeia, é . - Derivada de
: é .
Somando,
Passo 5
Relacionando
com
: observe que os termos em
são exatamente
vezes os termos em
. Escrevendo isso:
Passo 6
Verificação da equação de onda estacionária: substituímos
em
. Fazendo a substituição obtemos
ou seja,
. Logo a igualdade é satisfeita para todo
. Alternativamente, multiplicando ambos os lados por
e usando a definição de
dada, obtemos a forma energética
confirmando que a função satisfaz a equação de Schrödinger no trecho onde
.
Passo 7
Comentário didático sobre “solução geral”: a equação
é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela tem exatamente duas soluções independentes (por exemplo
e
). A combinação linear com constantes arbitrárias
e
é, portanto, a solução geral. Intuitivamente isso significa que quaisquer condições de contorno lineares (por exemplo valores de
e
em um ponto) podem ser satisfeitas escolhendo
e
adequadamente.