1. Verdadeira; a sequência das somas parciais \left\{s_{n}\right\} da série harmônica satisfaz s_{2^{n}}>\frac{n+1}{2}, portanto, essa série diverge.

Passo 1

O enunciado afirma que, para a série harmônica
\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i},
a soma parcial \,s_{2^n}=\sum_{i=1}^{2^n}\frac{1}{i}
satisfaz
s_{2^n}>\frac{n+1}{2},
e com isso conclui-se que a série diverge.
O conteúdo é o teste de divergência por comparação interna (agrupamento de termos).

Passo 2

Vamos escrever s_{2^n} agrupando termos em “blocos” de comprimentos que são potências de 2.
s_{2^n} =\sum_{i=1}^{2^n}\frac{1}{i} =1+\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac{1}{i}.
Em cada bloco k há exatamente 2^{k-1} termos, todos deles com índice i\le2^k. Logo, para i nesse bloco, \frac{1}{i}\ge\frac{1}{2^k}.

Passo 3

Usando essa estimativa em cada bloco, temos para todo k=1,2,\dots,n:
\sum_{i=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac{1}{i} \ge\sum_{i=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac{1}{2^k} =2^{k-1}\cdot\frac{1}{2^k} =\frac12.
Substituindo em s_{2^n}:
s_{2^n} \ge 1+\sum_{k=1}^{n}\frac12 =1+\frac{n}{2} =\frac{n+2}{2} >\frac{n+1}{2}.

Passo 4

Como \frac{n+1}{2}\to\infty quando n\to\infty, segue que s_{2^n} é ilimitada e, portanto, a série harmônica diverge.

Resposta

Verdadeira.

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