Determine as funções f / g e g / f. Encontre o domínio de cada uma delas.
f(x)=\sqrt{x+3} ; g(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado fornece as funções
f(x)=\sqrt{x+3},\qquad g(x)=x^{2},
e pede para:
  • determinar as funções (f/g) e (g/f) (ou seja, as expressões \dfrac{f(x)}{g(x)} e \dfrac{g(x)}{f(x)});
  • encontrar o domínio de cada uma delas.
Informações relevantes que já aparecem no enunciado:
  • A expressão \sqrt{x+3} exige que o argumento esteja não negativo, ou seja, requer x+3\ge 0.
  • Ao formar uma razão \dfrac{\text{algo}}{\text{algo}}, devemos garantir que o denominador não seja zero.

Passo 2

Definição e construção de (f/g)(x).
Por definição de quociente de funções,
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\quad\text{desde que }g(x)\neq 0.
Substituindo f(x) e g(x) temos
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{x^{2}}.
Agora vamos analisar o domínio dessa expressão. Primeiro recordando os domínios das funções originais:
\text{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x+3\ge 0\}=[-3,\infty),
\text{dom}(g)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty).
Para \dfrac{f}{g} precisamos dos x que pertencem a ambos os domínios e ainda satisfazem g(x)\neq 0.

Passo 3

Encontrando o domínio de (f/g)(x) passo a passo.
  1. Interseção dos domínios: \text{dom}(f)\cap\text{dom}(g)=[-3,\infty)\cap(-\infty,\infty)=[-3,\infty).
  2. Excluir pontos onde g(x)=0. Resolver g(x)=x^{2}=0 x=0. Portanto devemos excluir x=0 da interseção.
  3. Conclusão: o domínio de \left(\dfrac{f}{g}\right)(x) é
[-3,\infty)\setminus\{0\}=[-3,0)\cup(0,\infty).
Observação prática: por exemplo \left(\dfrac{f}{g}\right)(-3)=\dfrac{\sqrt{0}}{(-3)^{2}}=0 está bem definido; já \left(\dfrac{f}{g}\right)(0) é indefinido porque g(0)=0.

Passo 4

Definição e construção de (g/f)(x).
Por definição,
\left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{g(x)}{f(x)}\quad\text{desde que }f(x)\neq 0.
Substituindo:
\left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+3}}.
Agora analisamos o domínio: novamente precisamos de x que pertençam a \text{dom}(f)\cap\text{dom}(g)=[-3,\infty) e além disso satisfaçam f(x)\neq 0.

Passo 5

Encontrando o domínio de (g/f)(x) passo a passo.
  1. Interseção dos domínios: [ -3,\infty).
  2. Excluir pontos onde f(x)=0. Resolver f(x)=\sqrt{x+3}=0 x+3=0\Rightarrow x=-3. Logo x=-3 deve ser removido.
  3. Conclusão: o domínio de \left(\dfrac{g}{f}\right)(x) é
[-3,\infty)\setminus\{-3\}=(-3,\infty).
Observação prática: por exemplo \left(\dfrac{g}{f}\right)(0)=\dfrac{0^{2}}{\sqrt{3}}=0 está bem definido, enquanto \left(\dfrac{g}{f}\right)(-3) é indefinido porque o denominador fica 0.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{x^{2}},\quad \text{dom}\!\left(\frac{f}{g}\right)=[-3,0)\cup(0,\infty)
\displaystyle \left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+3}},\quad \text{dom}\!\left(\frac{g}{f}\right)=(-3,\infty)

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