Verifique que, para toda superficie de rotação, as direções tangentes aos meridianos e paralelos são direções principais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em toda superfície de revolução, as direções tangentes aos meridianos e paralelos coincidem com as direções principais da superfície. O conteúdo que vamos usar é:
- Parametrização de superfície de revolução.
- Primeira e segunda forma fundamental.
- Critério de linhas de curvatura (direções principais) via coeficiente misto da segunda forma fundamental.
Passo 2
Considere uma curva geratriz no plano
dada por
onde
. Ao girar essa curva em torno do eixo
, obtemos a parametrização
com
em algum domínio
. As linhas
são meridianos e
são paralelos.
Passo 3
Calculemos os vetores tangentes:
Daí a primeira forma fundamental tem coeficientes
Note que
, ou seja, a rede de meridianos e paralelos é ortogonal.
Passo 4
O vetor normal unitário é
Agora, os coeficientes da segunda forma fundamental são
Como
temos
Passo 5
O fato de o coeficiente misto
da segunda forma fundamental ser zero implica que as linhas coordenadas
(paralelos) e
(meridianos) são linhas de curvatura. Logo, as direções tangentes a meridianos e paralelos são exatamente as direções principais da superfície de revolução.
Resposta
Concluímos que, em toda superfície de revolução parametrizada como acima, os meridianos e paralelos são linhas de curvatura, isto é, suas direções tangentes são direções principais.