Verifique que, para toda superficie de rotação, as direções tangentes aos meridianos e paralelos são direções principais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em toda superfície de revolução, as direções tangentes aos meridianos e paralelos coincidem com as direções principais da superfície. O conteúdo que vamos usar é:
  1. Parametrização de superfície de revolução.
  2. Primeira e segunda forma fundamental.
  3. Critério de linhas de curvatura (direções principais) via coeficiente misto da segunda forma fundamental.

Passo 2

Considere uma curva geratriz no plano xz dada por
\bigl(f(u),0,g(u)\bigr),
onde f(u)>0. Ao girar essa curva em torno do eixo z, obtemos a parametrização
X(u,v)=\bigl(f(u)\cos v,\;f(u)\sin v,\;g(u)\bigr),
com (u,v) em algum domínio I\times[0,2\pi). As linhas v=\text{constante} são meridianos e u=\text{constante} são paralelos.

Passo 3

Calculemos os vetores tangentes:
X_u=(f'(u)\cos v,\;f'(u)\sin v,\;g'(u)), \qquad X_v=(-f(u)\sin v,\;f(u)\cos v,\;0).
Daí a primeira forma fundamental tem coeficientes
E=\langle X_u,X_u\rangle=f'(u)^2+g'(u)^2,\quad F=\langle X_u,X_v\rangle=0,\quad G=\langle X_v,X_v\rangle=f(u)^2.
Note que F=0, ou seja, a rede de meridianos e paralelos é ortogonal.

Passo 4

O vetor normal unitário é
N=\frac{X_u\times X_v}{\|X_u\times X_v\|} =\frac{1}{\sqrt{E\,G}} \bigl(g'(u)\cos v,\;g'(u)\sin v,\;-f'(u)\bigr).
Agora, os coeficientes da segunda forma fundamental são
e=\langle X_{uu},N\rangle,\quad f=\langle X_{uv},N\rangle,\quad g=\langle X_{vv},N\rangle.
Como
X_{uv}=\bigl(-f'(u)\sin v,\;f'(u)\cos v,\;0\bigr),
temos
f=\langle X_{uv},N\rangle =\frac{1}{\sqrt{E\,G}}\Bigl(-f'(u)\sin v\cdot g'(u)\cos v +f'(u)\cos v\cdot g'(u)\sin v\Bigr)=0.

Passo 5

O fato de o coeficiente misto f da segunda forma fundamental ser zero implica que as linhas coordenadas u=\const (paralelos) e v=\const (meridianos) são linhas de curvatura. Logo, as direções tangentes a meridianos e paralelos são exatamente as direções principais da superfície de revolução.

Resposta

Concluímos que, em toda superfície de revolução parametrizada como acima, os meridianos e paralelos são linhas de curvatura, isto é, suas direções tangentes são direções principais.

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