Seja f(x)=ln (x+1)-x.
a) Determine os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
b) Determine os pontos críticos de f e classifique-os em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de f é para cima e onde é para baixo.
d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede estudo de monotonicidade, pontos críticos, concavidade e esboço do gráfico de f(x)=ln(x+1)−x. Vamos usar derivadas para isso: f′ para monotonicidade e pontos críticos, f′′ para concavidade.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f. Como f(x)=ln(x+1)−x, temos
f(x)=ddxl[ln(x+1)r] - ddx[x]=1x+1-1
Esse resultado nos permitirá achar onde f é crescente (f′>0) ou decrescente (f′<0).

Passo 3

Analisando o sinal de f′(x)=1/(x+1)−1=(1−(x+1))/(x+1)=−x/(x+1). No domínio x>−1 o denominador (x+1) é positivo, então o sinal de f′ é oposto ao de x:
  • Para −1<x<0 temos x<0 ⇒ f′(x)>0 ⇒ f crescente.
  • Para x>0 temos x>0 ⇒ f′(x)<0 ⇒ f decrescente.

Passo 4

Os pontos críticos surgem quando f′(x)=0 ou f′ não existe. Aqui f′ não existe em x=−1 (fora do domínio) e zera em x=0. Logo, x=0 é o único ponto crítico. Para classificar usamos o segundo derivada.

Passo 5

Calculamos agora f′′(x). Como f′(x)=1/(x+1)−1, derivando:
f''(x)=-1(x+1)^2
Note que f’’(x)<0 para todo x>−1, ou seja, o gráfico é sempre côncavo para baixo. Em particular, no ponto crítico x=0 temos f’’(0)<0, indicando máximo local.

Passo 6

Resumo da concavidade: como f’’<0 em todo o domínio, não há intervalos de concavidade para cima, apenas concavidade para baixo em (−1,∞).

Passo 7

Para esboçar:
  • Domínio: x>−1, com assíntota vertical em x=−1.
  • Cresce de (−1) até x=0 atingindo f(0)=0 (máximo local).
  • Decrece para −∞ conforme x→∞.
  • Sempre côncavo para baixo.
    Colocando esses pontos e a forma geral, temos o gráfico pedido.

Resposta

a) f é crescente em (−1,0) e decrescente em (0,∞).
b) Ponto crítico em x=0; f(0)=0. Como f’’(0)<0, é máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de inflexão.
c) f’’(x)<0 para todo x>−1, logo é côncava para baixo em (−1,∞) e não há concavidade para cima.
d) O esboço: assíntota vertical x=−1, máximo local em (0,0), cresce até esse ponto e depois decresce, sempre côncavo para baixo.

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