Seja f(x)=ln (x+2).
Use a fórmula obtida para calcular f^(5)(0).

Passo 1

A questão dá a função f(x)=ln(x+2) e pede a 5ª derivada em x=0. O assunto é derivadas de ordem superior de funções logarítmicas, e vamos precisar usar a regra da potência repetidamente para a função (x+2)^{-1} e identificar um padrão geral.

Passo 2

Primeiro, calculo as primeiras derivadas para notar um padrão. Inicialmente escrevo f’(x) em forma de potência:
f'(x)=ddxln(x+2)=1x+2=(x+2)^-1
Derivando de novo:
f''(x)=-1,(x+2)^-2,
f'''(x)=(-1)(-2),(x+2)^-3=2,(x+2)^-3

Passo 3

Observando esses coeficientes armo a hipótese de que a n-ésima derivada segue a fórmula
f^(n)(x)=(-1)^n-1,(n-1)!(x+2)^n
Isso se baseia em que cada nova derivação traz um fator (-n+1) e aumenta a potência de (x+2) no denominador.

Passo 4

Agora aplico ao caso n=5 e avalio em x=0. Segundo a fórmula:
f^(5)(x)=(-1)^4,4!(x+2)^5=24(x+2)^5
Logo,
f^(5)(0)=242^5=2432=34

Resposta

tfrac34

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