Seja
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Use a fórmula obtida para calcular
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Use a fórmula obtida para calcular
Passo 1
A questão dá a função f(x)=ln(x+2) e pede a 5ª derivada em x=0. O assunto é derivadas de ordem superior de funções logarítmicas, e vamos precisar usar a regra da potência repetidamente para a função (x+2)^{-1} e identificar um padrão geral.
Passo 2
Primeiro, calculo as primeiras derivadas para notar um padrão. Inicialmente escrevo f’(x) em forma de potência:
Derivando de novo:
Passo 3
Observando esses coeficientes armo a hipótese de que a n-ésima derivada segue a fórmula
Isso se baseia em que cada nova derivação traz um fator (-n+1) e aumenta a potência de (x+2) no denominador.
Passo 4
Agora aplico ao caso n=5 e avalio em x=0. Segundo a fórmula:
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