Utilize a Equação 5 para determinar dy/dx.
cos (x y)=1+sen y

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá a equação cos(xy)=1+sin y e quer dydx usando derivação implícita. Vamos precisar da regra da cadeia, da regra do produto e das derivadas de cos e sin.

Passo 2

Aplicamos derivação implícita nos dois lados em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da cadeia, temos:
ddxl(cos(xy)r)=-sin(xy)cdotddx(xy)
No lado direito:
ddx(1+sin y)=cos ycdotdydx

Passo 3

Agora derivamos xy usando a regra do produto:
ddx(xy)=y+xdydx

Passo 4

Substituindo no passo de cima, fica:
-sin(xy)l(y+xdydxr)=cos ydydx
Expandindo e juntando os termos com dydx:
-ysin(xy)-xsin(xy)dydx=cos ydydx

Passo 5

Isolando dydx, movemos tudo para um lado:
(xsin(xy)+cos y)dydx=-ysin(xy)
e daí
dydx=-ysin(xy)xsin(xy)+cos y

Resposta

-ysin(xy)xsin(xy)+cos y

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