Calcule:
integral0^2(5 x^3-12) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um polinômio: integral0^2l(5x^3-tfrac12r),dx. O conteúdo envolvido é integral de polinômio e o que vamos precisar é o Teorema Fundamental do Cálculo: achar uma antiderivada e avaliar nos limites.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de 5x^3-tfrac12, aplicamos a regra de potência em cada termo:
integral 5x^3,dx = 5cdotx^44 = 5x^44,
integral l(-tfrac12r)dx = -tfrac12,x
Portanto, uma primitiva é
$$
F(x) = \frac{5x^{4}}{4} - \frac{x}{2}.
$$

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos nos limites 0 a 2:
l[F(x)r]0^2 = F(2)-F(0)
Calculando em x=2:
$$
F(2)=\frac{5\cdot 2^{4}}{4}-\frac{2}{2}=\frac{5\cdot16}{4}-1=20-1=19,
$$
e em F(2)=5cdot 2^44-22=5cdot164-1=20-1=19, temos x=0. Subtraindo, o valor da integral é 19.

Resposta

19

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