Seja f(x)=log b(3 x^2-2). Para qual valor de b ocorre f^prime(1)=3?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=logb(3x^2-2) e queremos determinar o valor de b tal que f'(1)=3. O conteúdo usado será derivada de logaritmo e propriedades de logaritmo em base b.

Passo 2

Para derivar f(x)=logb(3x^2-2), lembramos que logb(u) = dfracln(u)ln(b). Assim, usando regra da cadeia,
f'(x)=1ln(b)cdotddxl(ln(3x^2-2)r)=1ln(b)cdot13x^2-2cdot6x=6x(3x^2-2),ln(b)

Passo 3

Avaliação em x=1: substituindo em f'(x) obtemos
f'(1)=6cdot1(3cdot1^2-2),ln(b)=6(3-2),ln(b)=6ln(b)

Passo 4

Impondo f'(1)=3 temos
6ln(b)=3Longrightarrowln(b)=2Longrightarrow b=e^2

Passo 5

Verificação de restrições: como b>0 e bneq1, o valor b=e^2 é válido.

Resposta

e^2

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