1a
Seja
é contínua em
? E em
? Justifique.
Seja
Passo 1
Olha só, a gente tem uma função dividida em três partes diferentes, dependendo do valor de $ x $. A pergunta é saber se essa função é contínua nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como verificar isso usando os limites laterais e o valor da função no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto $ a $ se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em $ a $, ou seja, $ f(a) $ existe.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual ao valor da função em $ a $, ou seja, $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $.
Vamos aplicar isso nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Começando com $ x = 0 $:
-
Valor da função em 0:
Observando a definição da função, para $ x \leq 0 $, temos $ f(x) = x $. Então, $ f(0) = 0 $. -
Limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x \to 0^- $):
Para $ x < 0 $, $ f(x) = x $. Assim: -
Limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x \to 0^+ $):
Para $ 0 < x < 1 $, $ f(x) = x - x^2 $. Assim: -
Comparando os limites e o valor da função:Todas as condições para continuidade são satisfeitas em $ x = 0 $.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em $ x = 1 $:
-
Valor da função em 1:
Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = 1 - 2x $. Então, $ f(1) = 1 - 2(1) = -1 $. -
Limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^- $):
Para $ 0 < x < 1 $, $ f(x) = x - x^2 $. Assim: -
Limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \to 1^+ $):
Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = 1 - 2x $. Assim: -
Comparando os limites e o valor da função:Os limites laterais não são iguais, então o limite geral $ \lim_{x \to 1} f(x) $ não existe. Como o limite não existe ou não é igual ao valor da função em 1, a função não é contínua em $ x = 1 $.
Resposta
A função $ f $ é contínua em $ x = 0 $ e não é contínua em $ x = 1 $.