Seja f(x)=a^x, onde a>0 e a neq 1 é um real dado. Mostre que f^prime(x)=a^x f^prime(0). Sugestão: faça o procedimento análogo àquele para demonstrar que (e^x)^prime=e^x.

Passo 1

O enunciado quer a derivada de f(x)=a^x, com a>0 e aneq1. O conteúdo é cálculo de derivada pelo limite do quociente incremental, fazendo o mesmo raciocínio usado para l(e^xr)'=e^x.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada em x:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0a^x+h-a^xh
Como a^x+h=a^xcdot a^h, temos
f'(x) =limhto0a^x,a^h - a^xh =a^xlimhto0a^h-1h

Passo 3

Observe que o limite que sobra é justamente a derivada de f em 0:
limhto0a^h-1h=f'(0)
Portanto
f'(x)=a^x,f'(0)

Resposta

f'(x)=a^x,f'(0)

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