Sabendo que f(2)=1, f(8)=5, f^{\prime}(2)=7 e f^{\prime}(8)=-3 encontre
(a) g^{\prime}(2), onde g(x)=[f(x)]^{2}.
(b) h^{\prime}(2), onde h(x)=f\left(x^{3}\right).
(c) q^{\prime}(2), onde q(x)=\frac{g(x)}{h(x)} sendo h(x) e g(x) como acima.

Passo 1

O enunciado nos dá f(2)=1, f'(2)=7, f(8)=5 e f'(8)=-3. Definimos as funções
g(x) = [f(x)]^2,\quad h(x) = f\bigl(x^3\bigr),\quad q(x)=\frac{g(x)}{h(x)}.
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, a regra do produto (no caso de g) e a regra do quociente (no caso de q).

Passo 2

Para achar g'(x), aplicamos a derivada de uma função ao quadrado:
\frac{d}{dx}[u(x)]^2 = 2\,u(x)\,u'(x).
Substituindo u(x)=f(x), temos
g'(x) = 2\,f(x)\,f'(x).
Em x=2, fica
g'(2) = 2\cdot f(2)\cdot f'(2) = 2\cdot1\cdot7 = 14.

Passo 3

Para h(x) = f(x^3), usamos a regra da cadeia: se u(x) = x^3, então
h'(x) = f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = f'(x^3)\cdot 3x^2.
Em x=2, temos x^3=8 e 3x^2=12, logo
h'(2) = f'(8)\cdot12 = (-3)\cdot12 = -36.

Passo 4

Para q(x)=\frac{g(x)}{h(x)}, aplicamos a regra do quociente:
q'(x) = \frac{g'(x)\,h(x) - g(x)\,h'(x)}{\bigl[h(x)\bigr]^2}.
Em x=2, usamos
g'(2)=14,\quad g(2)=[f(2)]^2=1,\quad h'(2)=-36,\quad h(2)=f(8)=5.
Portanto
q'(2) = \frac{14\cdot5 - 1\cdot(-36)}{5^2} = \frac{70 + 36}{25} = \frac{106}{25}.

Resposta

(a) g'(2) = 14.
(b) h'(2) = -36.
(c) q'(2) = \tfrac{106}{25}.

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