Seja
e
. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
A pergunta é: calcular
, ou seja, a derivada da função
em relação a
.
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada que vou usar: a derivada de
em um ponto
é o limite do quociente de diferença quando o incremento
tende a zero:
Aqui
é um número real que representa um pequeno deslocamento em
. O objetivo é calcular esse limite para
.
Passo 3
Aplicando a definição em
obtemos o quociente
Usamos a identidade trigonométrica da soma de cossenos:
Substituindo isso no quociente:
Então
Passo 4
Agora precisamos conhecer os dois limites trigonométricos padrão que aparecem acima:
e
Explico por que cada um vale isso (é importante para a prova).
Prova de
(ideia geométrica / squeeze):
Para vale a desigualdade geométrica
Para
Dividindo tudo por
obtemos
Invertendo (e observando que
) dá
Quando
, temos
, então pelo princípio do squeeze
A mesma conclusão vale quando
tende a
por valores negativos (considerando simetria ímpar de
), então o limite bilateral é
.
Passo 5
Prova de
:
Use a identidade de metade de ângulo . Com
(ou seja
) temos
Use a identidade de metade de ângulo
Quando
isso equivale a
. Já sabemos que
e
; portanto o produto tende a
. Logo
Passo 6
Voltando ao limite da derivada, usamos os limites que acabamos de justificar:
Assim