Seja f(x)=\operatorname{sen} x e g(x)=\cos x. Calcule:
g^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\operatorname{sen} x
e
g(x)=\cos x.
A pergunta é: calcular g'(x), ou seja, a derivada da função g em relação a x.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada que vou usar: a derivada de g em um ponto x é o limite do quociente de diferença quando o incremento h tende a zero:
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Aqui h é um número real que representa um pequeno deslocamento em x. O objetivo é calcular esse limite para g(x)=\cos x.

Passo 3

Aplicando a definição em g(x)=\cos x obtemos o quociente
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}.
Usamos a identidade trigonométrica da soma de cossenos:
\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h.
Substituindo isso no quociente:
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h} = \cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Então
g'(x)=\lim_{h\to0}\left(\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}\right).

Passo 4

Agora precisamos conhecer os dois limites trigonométricos padrão que aparecem acima:
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1
e
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Explico por que cada um vale isso (é importante para a prova).
Prova de \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 (ideia geométrica / squeeze):
Para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\sin h < h < \tan h.
Dividindo tudo por \sin h>0 obtemos
1 < \frac{h}{\sin h} < \frac{1}{\cos h}.
Invertendo (e observando que \cos h>0) dá
\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1.
Quando h\to0, temos \cos h\to1, então pelo princípio do squeeze
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.
A mesma conclusão vale quando h tende a 0 por valores negativos (considerando simetria ímpar de \sin), então o limite bilateral é 1.

Passo 5

Prova de \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0:
Use a identidade de metade de ângulo \cos h-1=-2\sin^2\!\left(\tfrac{h}{2}\right). Com t=\tfrac{h}{2} (ou seja h=2t) temos
\frac{\cos h-1}{h}=\frac{-2\sin^2 t}{2t}=-\frac{\sin^2 t}{t} = -\left(\frac{\sin t}{t}\right)\sin t.
Quando h\to0 isso equivale a t\to0. Já sabemos que \frac{\sin t}{t}\to1 e \sin t\to0; portanto o produto tende a 0. Logo
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 6

Voltando ao limite da derivada, usamos os limites que acabamos de justificar:
g'(x)=\cos x\cdot\underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}}_{0}-\sin x\cdot\underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}}_{1} =\cos x\cdot 0-\sin x\cdot 1.
Assim
g'(x)=-\sin x.

Resposta

\,g'(x)=-\sin x\,

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