Seja f(x)=\operatorname{sen} x e g(x)=\cos x. Calcule:
f^{\prime}(\pi)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sin x
e
g(x)=\cos x
e pede para calcular
f'(\pi).
Ou seja: preciso encontrar a derivada de f no ponto x=\pi. Não vou assumir nada ainda — vou aplicar a definição de derivada e usar identidades trigonométricas e limites que preciso justificar.

Passo 2

Lembrete importante (definição): a derivada de f em um ponto a é o limite
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Isso é a taxa de variação instantânea de f em a. Vou aplicar essa definição para a=\pi e f(x)=\sin x:
f'(\pi)=\lim_{h\to0}\frac{\sin(\pi+h)-\sin\pi}{h}.

Passo 3

Uso a identidade da soma de ângulos \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. Com \alpha=\pi e \beta=h obtemos
\sin(\pi+h)=\sin\pi\cos h+\cos\pi\sin h.
Como \sin\pi=0 e \cos\pi=-1, isso dá
\sin(\pi+h)= -\sin h.
Substituindo na diferença quociente:
f'(\pi)=\lim_{h\to0}\frac{-\sin h - 0}{h} = -\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}.
Portanto o problema reduz-se a calcular o limite \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}.

Passo 4

Agora tenho que avaliar \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}. Esse é um limite fundamental em cálculo. Vou provar que vale 1 usando uma demonstração geométrica clássica via desigualdades (teorema do aperto / squeeze).
Considere 0<h<\tfrac{\pi}{2} e o círculo unitário. Pelas relações geométricas no círculo unitário tem-se
\sin h < h < \tan h.
(Esboço da ideia: o arco de comprimento h é maior que a altura vertical do triângulo inscrito que é \sin h, e menor que a altura do triângulo circunscrito que é \tan h.) Dividindo todas as partes por \sin h>0,
1 < \frac{h}{\sin h} < \frac{1}{\cos h}.
Invertendo as desigualdades (mantendo o sentido porque todas as partes são positivas) obtemos
\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1.
Agora fazemos h\to0^+. Sabemos que \lim_{h\to0}\cos h = 1, então, pelo teorema do aperto,
\lim_{h\to0^+}\frac{\sin h}{h} = 1.
Como \dfrac{\sin h}{h} é função par (ou seja, \dfrac{\sin(-h)}{-h}=\dfrac{\sin h}{h}), o mesmo limite vale por ambos os lados:
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h} = 1.

Passo 5

Voltando ao que encontramos no Passo 3:
f'(\pi) = -\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}.
Pelo resultado do Passo 4 o limite vale 1, portanto chega-se ao valor numérico final (veja a resposta abaixo).

Resposta

-1

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