Seja
e
. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e pede para calcular
Ou seja: preciso encontrar a derivada de
no ponto
. Não vou assumir nada ainda — vou aplicar a definição de derivada e usar identidades trigonométricas e limites que preciso justificar.
Passo 2
Lembrete importante (definição): a derivada de
em um ponto
é o limite
quando esse limite existe. Isso é a taxa de variação instantânea de
em
. Vou aplicar essa definição para
e
:
Passo 3
Uso a identidade da soma de ângulos
. Com
e
obtemos
Como
e
, isso dá
Substituindo na diferença quociente:
Portanto o problema reduz-se a calcular o limite
.
Passo 4
Agora tenho que avaliar
. Esse é um limite fundamental em cálculo. Vou provar que vale
usando uma demonstração geométrica clássica via desigualdades (teorema do aperto / squeeze).
Considere
e o círculo unitário. Pelas relações geométricas no círculo unitário tem-se
(Esboço da ideia: o arco de comprimento
é maior que a altura vertical do triângulo inscrito que é
, e menor que a altura do triângulo circunscrito que é
.) Dividindo todas as partes por
,
Invertendo as desigualdades (mantendo o sentido porque todas as partes são positivas) obtemos
Agora fazemos
. Sabemos que
, então, pelo teorema do aperto,
Como
é função par (ou seja,
), o mesmo limite vale por ambos os lados:
Passo 5
Voltando ao que encontramos no Passo 3:
Pelo resultado do Passo 4 o limite vale
, portanto chega-se ao valor numérico final (veja a resposta abaixo).