Questão 1. Prove por indução que
\frac{d^{n}}{d z^{n}}\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{(-1)^{n} n!}{z^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre n\in\mathbb{N}, que a n-ésima derivada de 1/z satisfaz
\frac{d^{n}}{dz^{n}}\Bigl(\frac1z\Bigr) =\frac{(-1)^{n}\,n!}{z^{n+1}}.
O conteúdo usado será o princípio de indução e a regra de derivação de potências, segundo a qual
\frac{d}{dz}\bigl(z^{m}\bigr)=m\,z^{m-1}.

Passo 2

Para n=0, a derivada de ordem zero é a própria função, então
\frac{d^0}{dz^0}\Bigl(\frac1z\Bigr)=\frac1z
e o lado direito é
\frac{(-1)^0\,0!}{z^{0+1}}=\frac{1\cdot1}{z}= \frac1z.
Logo, a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Suponha que para algum n\ge0 valha
\frac{d^{n}}{dz^{n}}\Bigl(\frac1z\Bigr) =\frac{(-1)^{n}\,n!}{z^{n+1}}.
Este é o passo de hipótese de indução.

Passo 4

Vamos mostrar que a fórmula vale para n+1. Pela definição de derivada de ordem superior,
\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\Bigl(\frac1z\Bigr) =\frac{d}{dz}\Bigl[\frac{d^{n}}{dz^{n}}\bigl(\tfrac1z\bigr)\Bigr] =\frac{d}{dz}\Bigl[\frac{(-1)^{n}\,n!}{z^{n+1}}\Bigr].
Aplicando a regra de derivação de potências com m=-(n+1),
\frac{d}{dz}\bigl(z^{-(n+1)}\bigr) =-(n+1)\,z^{-(n+2)},
então
\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\Bigl(\frac1z\Bigr) =(-1)^{n}\,n!\;\bigl[-(n+1)\,z^{-(n+2)}\bigr] =\frac{(-1)^{n+1}\,(n+1)!}{z^{(n+1)+1}}.
Isso prova o passo indutivo.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
\frac{d^{n}}{dz^{n}}\Bigl(\frac1z\Bigr) =\frac{(-1)^{n}\,n!}{z^{n+1}}
vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

\frac{d^{n}}{dz^{n}}\Bigl(\frac1z\Bigr) =\frac{(-1)^{n}\,n!}{z^{n+1}}.

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