Questão 1. Prove por indução que
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução sobre
, que a
-ésima derivada de
satisfaz
O conteúdo usado será o princípio de indução e a regra de derivação de potências, segundo a qual
Passo 2
Para
, a derivada de ordem zero é a própria função, então
e o lado direito é
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Suponha que para algum
valha
Este é o passo de hipótese de indução.
Passo 4
Vamos mostrar que a fórmula vale para
. Pela definição de derivada de ordem superior,
Aplicando a regra de derivação de potências com
,
então
Isso prova o passo indutivo.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
vale para todo
.