Sejam I, J intervalos arbitrários da reta e f: I J uma bijeção tal que x. Prove que f (e conseqüentemente f^-1 ) é continua. Conclua daí a continuidade de f:[0,+infty) [0,+infty), dada por f(x)=raizx

Passo 1

O enunciado pede para provar que uma bijeção estritamente crescente f: I to J entre intervalos é contínua, bem como sua inversa f^-1. Vamos usar a definição varepsilon- de de continuidade, aproveitando que f é estritamente crescente e sobrejetiva, para garantir que não haja saltos no gráfico. Em seguida, aplicaremos esse resultado à função f(x)=raizx de [0,+infty) em [0,+infty).

Passo 2

Seja c in I e varepsilon>0. Como f é bijetiva e estritamente crescente, os números f(c)-varepsilon e f(c)+varepsilon pertencem a J. Logo existem únicos a,bin I tais que f(a)=f(c)-varepsilon e f(b)=f(c)+varepsilon. A ordem de f garante a.

Passo 3

Defina de0. Se x satisfaz |x-c|, então a. Como f é estritamente crescente, temos f(c)-varepsilon=f(a), ou seja |f(x)-f(c)|. Isso prova que f é contínua em c. Como c era arbitrário, f é contínua em todo I.

Passo 4

Para f^-1, basta notar que a inversa de uma bijeção monótona estrita entre intervalos também satisfaz o mesmo argumento varepsilon- de, trocando f por f^-1. Logo f^-1 é contínua em J.

Passo 5

No caso concreto f(x)=raizx de [0,+infty) em [0,+infty), observamos que f é estritamente crescente e bijetiva. Pelo resultado anterior, f e f^-1(y)=y^2 são contínuas. Em particular, raizx é contínua em [0,+infty).

Resposta

A bijeção estritamente crescente f: Ito J e sua inversa f^-1 são contínuas. Em particular, f(x)=raizx é contínua em [0,+infty).

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