Sejam
intervalos arbitrários da reta e
uma bijeção tal que
. Prove que
(e conseqüentemente
) é continua. Conclua daí a continuidade de
, dada por
Passo 1
O enunciado pede para provar que uma bijeção estritamente crescente
entre intervalos é contínua, bem como sua inversa
. Vamos usar a definição
-
de continuidade, aproveitando que
é estritamente crescente e sobrejetiva, para garantir que não haja saltos no gráfico. Em seguida, aplicaremos esse resultado à função
de
em
.
Passo 2
Seja
e
. Como
é bijetiva e estritamente crescente, os números
e
pertencem a
. Logo existem únicos
tais que
e
. A ordem de
garante
.
Passo 3
Defina
. Se
satisfaz
, então
. Como
é estritamente crescente, temos
, ou seja
. Isso prova que
é contínua em
. Como
era arbitrário,
é contínua em todo
.
Passo 4
Para
, basta notar que a inversa de uma bijeção monótona estrita entre intervalos também satisfaz o mesmo argumento
-
, trocando
por
. Logo
é contínua em
.
Passo 5
No caso concreto
de
em
, observamos que
é estritamente crescente e bijetiva. Pelo resultado anterior,
e
são contínuas. Em particular,
é contínua em
.
Resposta
A bijeção estritamente crescente
e sua inversa
são contínuas. Em particular,
é contínua em
.