Seja
uma função uniformemente contínua, então existe
para cada
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
que é uniformemente contínua e pede para mostrar que, para todo ponto de acumulação
, o limite
existe.
Passo 2
Uniformemente contínua significa que: dado
, existe
tal que, para quaisquer
, se
então
. Vamos usar isso para mostrar que
se comporta como uma sequência de Cauchy quando
.
Passo 3
Seja
. Por definição de ponto de acumulação, existem pontos de
arbitrariamente próximos de
. Tomemos dois pontos quaisquer
, ambos diferentes de
, que satisfaçam
e
com
obtido pela uniformidade (relacionado a um
fixo). Então
Podemos reforçar a escolha de
para que
funcione na definição de uniformidade, garantindo
Passo 4
Isso mostra que, sempre que
e
estão suficientemente próximos de
, os valores
e
ficam arbitrariamente próximos. Em outras palavras, o mapeamento
satisfaz o critério de Cauchy à medida que
.
Passo 5
Como
é completo, toda sequência de Cauchy em
converge. Portanto, o “efeito Cauchy” que acabamos de provar garante que existe um valor
tal que
quando
.
Passo 6
Concluímos que para todo
existe o limite de
quando
tende a
, isto é,
existe.
Resposta
Para cada ponto de acumulação
, o limite
existe.