Seja f: X R uma função uniformemente contínua, então existe lim x a f(x) para cada a in X^prime.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f: X to R que é uniformemente contínua e pede para mostrar que, para todo ponto de acumulação a in X', o limite limx to a f(x) existe.

Passo 2

Uniformemente contínua significa que: dado varepsilon>0, existe de0 tal que, para quaisquer x,yin X, se |x-y| então |f(x)-f(y)|. Vamos usar isso para mostrar que f(x) se comporta como uma sequência de Cauchy quando xto a.

Passo 3

Seja ain X'. Por definição de ponto de acumulação, existem pontos de Xsetminusa arbitrariamente próximos de a. Tomemos dois pontos quaisquer x,x'in X, ambos diferentes de a, que satisfaçam
|x-a|
e
|x'-a|
com de obtido pela uniformidade (relacionado a um varepsilon>0 fixo). Então
|x - x'| <= |x - a| + |a - x'| < de
Podemos reforçar a escolha de de para que 2de funcione na definição de uniformidade, garantindo
|f(x) - f(x')| < varepsilon

Passo 4

Isso mostra que, sempre que x e x' estão suficientemente próximos de a, os valores f(x) e f(x') ficam arbitrariamente próximos. Em outras palavras, o mapeamento xmapsto f(x) satisfaz o critério de Cauchy à medida que xto a.

Passo 5

Como R é completo, toda sequência de Cauchy em R converge. Portanto, o “efeito Cauchy” que acabamos de provar garante que existe um valor LinR tal que f(x)to L quando xto a.

Passo 6

Concluímos que para todo ain X' existe o limite de f(x) quando x tende a a, isto é, limxto af(x) existe.

Resposta

Para cada ponto de acumulação ain X', o limite limxto af(x) existe.

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