Sejam f, g: X R contínuas no ponto a in X. Mostre que as funções abaixo são contínuas em a.
c) fg, com g(a) neq 0.

Passo 1

Temos duas funções f e g contínuas no ponto a e queremos mostrar que a função h definida por h(x)=f(x)/g(x) também é contínua em a. O assunto aqui é continuidade de funções e propriedades de limites, especialmente a do quociente, e vamos usar que g(a)≠0.

Passo 2

Como f e g são contínuas em a, vale que limxto af(x)=f(a) e limxto ag(x)=g(a). Como g(a)neq 0, podemos usar a propriedade de limite de quociente:
limxto af(x)g(x)=limxto af(x)limxto ag(x)=f(a)g(a)

Passo 3

Pela definição de continuidade, uma função é contínua em a se o limite quando x→a é igual ao valor no ponto. Aqui obtivemos limxto ah(x)=f(a)/g(a)=h(a), portanto h é contínua em a.

Resposta

A função xmapstof(x)g(x) é contínua em a.

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