Para a função passo unitário finita simétrica
f(t)= 1, & |t|<1 0, & |t|>1
resolva os seguintes itens:
(b) Pela TFCI, mostre que
f(t)=2pi integral0^infty sen omega cos (omega t)omega d omega

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função passo unitário finita e simétrica
f(t)=1,&|t|<10,&|t|>1
O conteúdo é a Transformada de Fourier de Cosseno Inversa (TFCI). Vamos precisar calcular primeiro a transformada de cosseno de f(t) e depois aplicar a fórmula de inversão da TFCI.

Passo 2

A Transformada de Fourier de Cosseno de f(t) é definida por
Fc(omega)=integral0^inftyf(t)cos(omega t),dt
Como f(t)=1 só em [0,1] e zero fora, temos
Fc(omega)=integral0^1cos(omega t),dt =[sin(omega t)omega]0^1 =sin(omega)omega

Passo 3

A fórmula de inversão da TFCI para função par (simétrica) é
f(t)=2piintegral0^inftyFc(omega)cos(omega t),domega
Essa igualdade garante que, conhecendo Fc(omega), a gente recupera f(t).

Passo 4

Substituindo Fc(omega)=dfracsin(omega)omega na fórmula de inversão obtemos
f(t)=2piintegral0^inftysin(omega)omegacos(omega t),domega,
que é exatamente a expressão pedida.

Resposta

f(t)=2piintegral0^inftysin(omega)omegacos(omega t),domega

Exercícios relacionados