Calcule as integrais abaixo.
integral -e^-z+1z cos (e^-z+ln z) d z

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral integral (-e^-z + 1z cos(e^-z + ln z)) dz. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma variável mais simples. Olhando a função dentro do cosseno, e^-z + ln z, vamos chamar isso de u. Então, definimos:
u = e^-z + ln z

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a z para ver como ela se relaciona com o que temos na integral. Calculando:
dudz = -e^-z + 1z
Note que esse resultado é exatamente o que está na frente do cosseno na nossa integral original.

Passo 4

Com isso, podemos reescrever a integral em termos de u. Sabemos que:
du = (-e^-z + 1z) dz
Então, substituindo na integral:
integral (-e^-z + 1z) cos(u) dz = integral cos(u) du

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples: integral cos(u) du. A antiderivada de cos(u) é sin(u), então:
integral cos(u) du = sin(u) + C

Passo 6

Finalmente, vamos voltar para a variável original z, substituindo u de volta:
sin(u) + C = sin(e^-z + ln z) + C

Resposta

A integral é igual a sin(e^-z + ln z) + C, onde C é a constante de integração.

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