Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, a gente tem que calcular a integral
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma variável mais simples. Olhando a função dentro do cosseno,
, vamos chamar isso de
. Então, definimos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para ver como ela se relaciona com o que temos na integral. Calculando:
Note que esse resultado é exatamente o que está na frente do cosseno na nossa integral original.
Passo 4
Com isso, podemos reescrever a integral em termos de
. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 6
Finalmente, vamos voltar para a variável original
, substituindo
de volta:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.