Suponha que um objeto de massa M>0 seja lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com uma velocidade inicial v0>0. Se denotarmos por R>0 o raio da terra, e por x >= R a distância do objeto ao centro da terra, então a velocidade v do objeto está relacionada com x pela relação
integralv0^v w d w=-M G integralR^x 1y^2 d y
Use integração para verificar que
v^2=v0^2+2 M G(1x-1R)
A partir da expressão acima, determine a velocidade de escape da Terra, que é a menor valor de v0 que faz com que o objeto não retorne mais à terra.

Passo 1

O enunciado diz que um objeto de massa M>0 é lançado para cima com velocidade inicial v0>0 a partir do solo (raio R da Terra). A relação dada é
integralv0^v w,dw = -M G integralR^x 1y^2,dy
O conteúdo aqui é integração de funções de potência e queremos usar essa relação para obter v^2 em função de x.

Passo 2

Vamos integrar o lado esquerdo primeiro. Como integral w,dw = tfrac12 w^2, temos
integralv0^v w,dw = 12l(v^2 - v0^2r)
No lado direito, usamos integral y^-2 dy = -y^-1, logo
integralR^x 1y^2,dy = l[-tfrac1yr]R^x = -1x + 1R
Multiplicando por -M G
-M Gl(-1x + 1Rr) = M Gl(1x - 1Rr)

Passo 3

Agora igualamos as duas expressões:
12l(v^2 - v0^2r) = M Gl(1x - 1Rr)
Multiplicando por 2, chega-se à fórmula pedida:
v^2 = v0^2 + 2 M Gl(1x - 1Rr)

Passo 4

Para achar a velocidade de escape, queremos que o objeto chegue em xtoinfty com velocidade zero ( v=0 ). Substituindo v=0 e 1/xto0 em
v^2 = v0^2 + 2 M Gl(1x - 1Rr),,
obtemos
0 = v0^2 - 2 M G/ RLongrightarrow v0^2 = 2 M GR
Assim, v0 mínimo para não retornar é a velocidade de escape.

Passo 5

Interpretando o resultado, concluímos que a velocidade de escape da Terra é a menor v0 tal que o objeto atinge x=infty com v=0.

Resposta

vesc = raiz2 M GR

Exercícios relacionados