Suponha que um objeto de massa
seja lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com uma velocidade inicial
. Se denotarmos por
o raio da terra, e por
a distância do objeto ao centro da terra, então a velocidade
do objeto está relacionada com
pela relação
Use integração para verificar que
A partir da expressão acima, determine a velocidade de escape da Terra, que é a menor valor de
que faz com que o objeto não retorne mais à terra.
Passo 1
O enunciado diz que um objeto de massa
é lançado para cima com velocidade inicial
a partir do solo (raio
da Terra). A relação dada é
O conteúdo aqui é integração de funções de potência e queremos usar essa relação para obter
em função de
.
Passo 2
Vamos integrar o lado esquerdo primeiro. Como
, temos
No lado direito, usamos
, logo
Multiplicando por
dá
Passo 3
Agora igualamos as duas expressões:
Multiplicando por 2, chega-se à fórmula pedida:
Passo 4
Para achar a velocidade de escape, queremos que o objeto chegue em
com velocidade zero (
). Substituindo
e
em
obtemos
Assim,
mínimo para não retornar é a velocidade de escape.
Passo 5
Interpretando o resultado, concluímos que a velocidade de escape da Terra é a menor
tal que o objeto atinge
com
.