Dado o sinal x(t)=5+20 sen(60 pi t)-10 cos (120 pi t+pi / 4)+4 cos (150 pi t), escrever x(t) na forma de exponencial complexa;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever o sinal $ x(t) = 5 + 20 \sin(60\pi t) - 10 \cos(120\pi t + \frac{\pi}{4}) + 4 \cos(150\pi t) $ na forma de exponencial complexa. Para isso, vamos usar a fórmula de Euler, que é uma ferramenta essencial na matéria de sinais e sistemas para converter funções trigonométricas em exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler para as funções seno e cosseno:
sin(theta) = e^jtheta - e^-jtheta2j
cos(theta) = e^jtheta + e^-jtheta2
Essas fórmulas nos permitem transformar os termos trigonométricos em expressões com exponenciais complexas.

Passo 3

Vamos começar com o termo constante, que é o 5. Como é uma constante, podemos representá-lo como $ 5 \times e^{j0} $, já que $ e^{j0} = 1 $.
5 times e^j0

Passo 4

Agora, vamos transformar o termo $ 20 \sin(60\pi t) $ usando a fórmula do seno:
20 sin(60pi t)

Passo 5

Em seguida, vamos converter $ -10 \cos(120\pi t + \frac{\pi}{4}) $. Primeiro, aplicamos a propriedade do cosseno com a fase:
-10 cos(120pi t + pi4)

Passo 6

Por fim, vamos transformar o termo $ 4 \cos(150\pi t) $:
4 cos(150pi t)

Passo 7

Agora, juntamos todos os termos transformados:
x(t) = 5 e^j0 + 10j (e^j60pi t - e^-j60pi t) -5 (e^j(120pi t + pi4) + e^-j(120pi t + pi4)) + 2 (e^j150pi t + e^-j150pi t)

Resposta

A forma exponencial complexa de $ x(t) $ é:
x(t)

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