Seja f(x)=x^2 sin (1 / x) para x neq 0, e seja f(0)=0. Suponha também que h e k são duas funções tais que
ll h^prime(x)=sin ^2(sin (x+1)) & k^prime(x)=f(x+1) h(0)=3 & k(0)=0
Encontre
(i) (f circ h)^prime(0).
(ii) (k circ f)^prime(0).
(iii) alpha^prime(x^2), onde alpha(x)=h(x^2). Tenha muito cuidado.

Passo 1

O enunciado define
  • f(x)=x^2sin(1/x) para xneq0 e f(0)=0.
  • h'(x)=sin^2(sin(x+1)) com h(0)=3.
  • k'(x)=f(x+1) com k(0)=0.
Pede-se
(i) (fcirc h)'(0),
(ii) (kcirc f)'(0),
(iii) alpha'(x^2) onde alpha(x)=h(x^2).
Vamos usar a regra da cadeia, calcular f'(x) para xneq0 e em 0, e aplicar composição de derivadas.

Passo 2

Para (i)
(fcirc h)'(0)=f'l(h(0)r)cdot h'(0)
Como h(0)=3, precisamos de f'(3) e h'(0). Para xneq0, pela regra do produto e derivada de sin(1/x):
f'(x) =ddxl[x^2sin(1/x)r] =2xsin(1/x)+x^2cos(1/x)cdotddx(1/x) =2xsin(1/x)-cos(1/x)
Logo
f'(3)=6sinl(tfrac13r)-cosl(tfrac13r), h'(0)=sin^2l(sin(1)r)
Portanto
(fcirc h)'(0) =l(6sin(tfrac13)-cos(tfrac13)r),sin^2(sin1)

Passo 3

Para (ii)
(kcirc f)'(0)=k'l(f(0)r)cdot f'(0)
Como f(0)=0 e k'(x)=f(x+1), temos
k'(0)=f(1)=sin1
A derivada em 0 de f é
f'(0) =limxto0f(x)-f(0)x =limxto0x^2sin(1/x)x =limxto0xsin(1/x)=0
Logo
(kcirc f)'(0)=sin1cdot0=0

Passo 4

Para (iii), defina alpha(x)=h(x^2). Pela regra da cadeia:
alpha'(x)=h'(x^2)cdot2x
Agora basta avaliar em x^2:
alpha'(x^2)=2x^2,h'l((x^2)^2r) =2x^2,h'(x^4) =2x^2,sin^2!l(sin(x^4+1)r)

Resposta

(i) (fcirc h)'(0)=l(6sin(tfrac13)-cos(tfrac13)r),sin^2(sin 1)\n (ii) (kcirc f)'(0)=0\n (iii) alpha'(x^2)=2x^2,sin^2!(sin(x^4+1))

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