Seja f(x)= x^2 sin (1x), & se x neq 0, 0, & se x=0
Mostre que f^prime(0)=0, utilizando o Teorema do Confronto.

Passo 1

Estamos lidando com a função por partes \ f(x)=x^2sin(1/x) para xneq0 e f(0)=0. O objetivo é calcular f'(0) usando a definição de derivada em um ponto e o Teorema do Confronto.

Passo 2

A definição de derivada em zero é dada por \ f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x

Passo 3

Substituindo f(x)=x^2sin(1/x) e f(0)=0, o quociente fica \ f(x)-f(0)x=x^2sin(1/x)x=xsinl(1xr) Logo, \ f'(0)=limxto0xsinl(1xr)

Passo 4

Sabendo que para todo t vale -1<=sin t<=1, basta multiplicar por |x| para obter \ -|x|<= xsinl(1xr)<=|x|

Passo 5

Como \ limxto0-|x|=0elimxto0|x|=0, pelo Teorema do Confronto concluímos que \ limxto0xsinl(1xr)=0

Resposta

f'(0)=0

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