Calcule os limite abaixo sem regra de lhopital:
lim t infty(raizt^2-t-raizt^2+4 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso envolve conceitos de limites no infinito e simplificação de expressões com radicais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões dentro das raízes para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que para raizt^2 - t = raizt^2(1 - 1t) = traiz1 - 1t muito grande, raizt^2 + 4t = raizt^2(1 + 4t) = traiz1 + 4t domina sobre os termos lineares ( ). Então, podemos fatorar de dentro das raízes:
Similarmente,

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na diferença original:
raizt^2-t - raizt^2+4t = traiz1 - 1t - traiz1 + 4t = t(raiz1 - 1t - raiz1 + 4t)

Passo 4

Para simplificar, vamos usar a série de Taylor para a raiz quadrada quando raiz1 + x approx 1 + x2 quando x é pequeno é muito pequena (já que raiz1 - 1t approx 1 - 12t tende ao infinito). A aproximação é:
raiz1 + 4t approx 1 + 2t é
Aplicando isso:

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão:
t((1 - 12t) - (1 + 2t)) = t(-12t - 2t) = t(-52t) = -52

Resposta

O limite é .

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