Calcule os limite abaixo sem regra de lhopital:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Isso envolve conceitos de limites no infinito e simplificação de expressões com radicais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões dentro das raízes para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que para
muito grande,
domina sobre os termos lineares (
). Então, podemos fatorar
de dentro das raízes:
Similarmente,
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões na diferença original:
Passo 4
Para simplificar, vamos usar a série de Taylor para a raiz quadrada quando
é muito pequena (já que
tende ao infinito). A aproximação é:
Aplicando isso:
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão:
Resposta
O limite é
.