Seja f(x)=\sqrt{x} e g(x)=\frac{9-x^{2}}{x^{2}+x-2} :
(a) Encontre f(g(x)).
(b) Faça o estudo do domínio da função h(x)=f(g(x)).

Passo 1

O enunciado define f(x)=\sqrt{x}
e g(x)=\dfrac{9 - x^2}{x^2 + x - 2}.
Pede (a) a composição h(x)=f(g(x)) e (b) o estudo de domínio de h.
O conteúdo envolve composição de funções e análise de domínio de uma raiz quadrada, exigindo garantir que o argumento da raiz seja não-negativo e que não haja divisão por zero.

Passo 2

Para achar f(g(x)), basta substituir g(x) em f:
h(x)=f\bigl(g(x)\bigr) =\sqrt{\,g(x)\,} =\sqrt{\frac{9 - x^2}{x^2 + x - 2}}.

Passo 3

O domínio de h exige duas condições:
  1. o denominador de g não seja zero, ou seja
x^2 + x - 2 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad (x+2)(x-1)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -2,\;x\neq1;
  1. o radicando seja não-negativo:
\frac{9 - x^2}{x^2 + x - 2}\;\ge0.

Passo 4

Fatoramos numerador e denominador para montar o quadro de sinais:
9 - x^2 = (3 - x)(3 + x), \quad x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1).
Logo analisamos o sinal de
\frac{(3 - x)(3 + x)}{(x+2)(x-1)}\ge0
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos -3,-2,1,3. Fazendo o quadro de sinais, obtemos que a fração é
– negativa em (-\infty,-3) e em (3,\infty);
– positiva em (-3,-2) e em (1,3);
– nula em x=-3 e em x=3.

Passo 5

Juntando as condições:
– excluímos x=-2 e x=1 (denominador zero);
– permitimos onde a fração é >=0, incluindo os zeros em -3 e 3.
Assim o domínio de h é
[-3,-2)\,\cup\,(1,3].

Resposta

(a) \displaystyle h(x)=\sqrt{\frac{9 - x^2}{x^2 + x - 2}}.
(b) \displaystyle \dom h=[-3,-2)\cup(1,3].

Exercícios relacionados