Encontre as raízes dos polinômios a seguir e escreva-os na forma fatorada.
r(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes do polinômio
r(x)=x^{3}+3x^{2}-9x
e escrevê-lo na forma fatorada. O conteúdo principal aqui é fatoração de polinômios e uso da fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática resultante.

Passo 2

Primeiro observamos que todos os termos de r(x) têm fator comum x. Usando a propriedade distributiva, extraímos esse fator:
r(x)=x\bigl(x^{2}+3x-9\bigr).

Passo 3

Agora precisamos resolver
x^{2}+3x-9=0
pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^{2}-4\cdot1\cdot(-9)}}{2\cdot1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt5}{2}.
Logo as raízes são
x_{1}=0,\quad x_{2}=\frac{-3+3\sqrt5}{2},\quad x_{3}=\frac{-3-3\sqrt5}{2}.

Passo 4

Cada raiz x_i gera um fator (x - x_i). Assim, a fatoração completa sobre os reais é
r(x) = x\, \Bigl(x - \tfrac{-3+3\sqrt5}{2}\Bigr)\, \Bigl(x - \tfrac{-3-3\sqrt5}{2}\Bigr) = x\Bigl(x + \tfrac{3-3\sqrt5}{2}\Bigr)\Bigl(x + \tfrac{3+3\sqrt5}{2}\Bigr).

Resposta

r(x)=x\Bigl(x + \tfrac{3-3\sqrt5}{2}\Bigr)\Bigl(x + \tfrac{3+3\sqrt5}{2}\Bigr).

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