Seja
e
. Mostre que
é limitada no subconjunto
, se e somente se, existe
tal que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
e um subconjunto
. Queremos mostrar que
“ é limitada em
” (i.e.\ o conjunto
é limitado)
se, e somente se, existe um número tal que
“
se, e somente se, existe um número
O conteúdo principal aqui é a definição de conjunto limitado em
e como isso se traduz para funções.
Passo 2
( “
” ) Suponha que
seja limitada em
. Por definição, isso significa que o conjunto
é limitado em
. Então existem dois números reais
e
tais que
Defina
Como
, temos para todo
que
e, portanto,
Note que
por construção.
Passo 3
( “
” ) Agora suponha que exista
tal que
Isso significa exatamente que
e como
é um intervalo limitado em
, seu subconjunto
também é limitado. Logo
é limitada em
.
Resposta
Mostramos ambas as implicações, portanto
“ é limitada em
” se, e somente se, existe
tal que
para todo
.
“