Usando a definição epsilon-\delta de limite mostre que
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x}{x-1}=-2.

Passo 1

O enunciado pede para provar, via definição ε–δ, que
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-3x}{x-1}=-2.
Isto significa: dado qualquer \varepsilon>0, devemos achar \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta e x\neq1, valha
\left|\frac{x^{2}-3x}{x-1} - (-2)\right|<\varepsilon.

Passo 2

Calculemos a diferença que queremos tornar pequena:
\left|\frac{x^{2}-3x}{x-1} +2\right| =\left|\frac{x^{2}-3x +2(x-1)}{x-1}\right| =\left|\frac{x^{2}-x -2}{x-1}\right| =\left|\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}\right| =\frac{|x-2|\;|x+1|}{|x-1|}.

Passo 3

Para controlar o fator \tfrac{|x+1|}{|x-1|}, restringimos x a um intervalo em torno de 2. Por exemplo, imponha
|x-2|<\tfrac12.
Isso garante x\in\bigl(\tfrac32,\tfrac52\bigr). Então
|x+1|\le \tfrac52+1=\tfrac72, \quad |x-1|\ge \tfrac32-1=\tfrac12.
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\frac{|x+1|}{|x-1|}\le \frac{\tfrac72}{\tfrac12}=7,
e consequentemente
\left|\frac{x^{2}-3x}{x-1} +2\right| \le 7\,|x-2|.

Passo 4

Queremos 7\,|x-2|<\varepsilon. Basta escolher
\delta = \min\Bigl\{\tfrac12,\;\frac{\varepsilon}{7}\Bigr\}.
Então, se 0<|x-2|<\delta, temos simultaneamente |x-2|<\tfrac12 (que valida o passo 3) e
\left|\frac{x^{2}-3x}{x-1} +2\right|\le 7\,|x-2|<7\cdot\frac{\varepsilon}{7}=\varepsilon.

Resposta

Dessa forma, para todo \varepsilon>0 existe \delta=\min\{\tfrac12,\varepsilon/7\}>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, vale
\left|\frac{x^{2}-3x}{x-1} - (-2)\right|<\varepsilon,
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\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-3x}{x-1}=-2.

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