Seja f(x)=-x^2-2 x+3.
Calcule a derivada f^prime de f, usando a definição derivativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = -x^{2} - 2x + 3 $ e precisa calcular a derivada dela, ou seja, $ f’(x) $, usando a definição de derivada. Isso pertence ao assunto de Cálculo Diferencial, especificamente ao conceito de derivada de uma função. Para resolver isso, vamos seguir a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ x $ é o limite da razão entre a variação da função e a variação de $ x $ quando essa variação tende a zero. Matemáticamente, é assim:
f
Ou seja, a derivada é esse limite que vamos calcular.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = -x^{2} - 2x + 3 $. Primeiro, precisamos calcular $ f(x + h) $:
f(x) = -x^2 - 2x + 3

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos:
(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2
Substituindo de volta:
f(x + h) = - (x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h + 3

Passo 5

Distribuindo o sinal negativo:
f(x + h) = -x^2 - 2xh - h^2 - 2x - 2h + 3

Passo 6

Agora, vamos calcular $ f(x + h) - f(x) $:
f(x + h) - f(x)

Passo 7

Simplificando a expressão:
f(x + h) - f(x) = -2xh - h^2 - 2h

Passo 8

Dividindo por $ h $ para aplicar na definição da derivada:
h

Passo 9

Finalmente, tiramos o limite quando $ h $ se aproxima de zero:
h

Resposta

A derivada da função $ f(x) = -x^{2} - 2x + 3 $ é:
f(x) = -x^2 - 2x + 3

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