Seja
.
Calcule a derivada
de
, usando a definição derivativa.
Calcule a derivada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = -x^{2} - 2x + 3 $ e precisa calcular a derivada dela, ou seja, $ f’(x) $, usando a definição de derivada. Isso pertence ao assunto de Cálculo Diferencial, especificamente ao conceito de derivada de uma função. Para resolver isso, vamos seguir a definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ x $ é o limite da razão entre a variação da função e a variação de $ x $ quando essa variação tende a zero. Matemáticamente, é assim:
Ou seja, a derivada é esse limite que vamos calcular.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = -x^{2} - 2x + 3 $. Primeiro, precisamos calcular $ f(x + h) $:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos:
Substituindo de volta:
Passo 5
Distribuindo o sinal negativo:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ f(x + h) - f(x) $:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Dividindo por $ h $ para aplicar na definição da derivada:
Passo 9
Finalmente, tiramos o limite quando $ h $ se aproxima de zero:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = -x^{2} - 2x + 3 $ é: