Seja f(x)=x+e^x^3-1. Calcule:
(a) f^prime(x);
(b) (f^-1)^prime(y), com y=2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x+e^x^3-1
e pede:
(a) a derivada f'(x);
(b) o valor de l(f^-1r)'(y) em y=2.
Vamos usar:
– derivada de soma e de função composta;
– fórmula da derivada de inversa, isto é
l(f^-1r)'(y)=1f'(x), x=f^-1(y)

Passo 2

Calculemos f'(x).
A derivada de x é 1. A derivada de e^x^3-1 é
e^x^3-1cdotddxl(x^3-1r) = e^x^3-1cdot 3x^2
Logo
f'(x)=1+3x^2e^x^3-1

Passo 3

Para l(f^-1r)'(2) precisamos achar x tal que
f(x)=2,
ou seja
x+e^x^3-1=2
Testando x=1 1+e^0=2. Logo f(1)=2 e a inversa satisfaz f^-1(2)=1.

Passo 4

Agora avaliamos f'(x) em x=1:
f'(1)=1+3cdot1^2cdot e^1-1=1+3cdot1=4
Pela fórmula da derivada da inversa
l(f^-1r)'(2)=1f'(1)=14

Resposta

(a) f'(x)=1+3x^2e^x^3-1
(b) l(f^-1r)'(2)=tfrac14

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