Seja
f(x, y)=1x y
Faça o mapa de contorno (curvas de níveis) de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o mapa de contorno (também conhecido como curvas de níveis) da função . Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis em Cálculo Multivariável. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de níveis e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de níveis. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis f(x, y) = k é o conjunto de pontos 1x y = k onde a função assume um valor constante . Matematicamente, isso é representado por:
Então, para a nossa função , vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para 1x y = k Rightarrow x y = 1k Rightarrow y = 1k x em função de e . Assim, podemos visualizar as curvas de nível no plano .
Então, para cada valor de , temos uma hipérbole definida por .

Passo 4

Vamos escolher alguns valores de y = 11 cdot x = 1x para desenhar essas curvas. Por exemplo, podemos escolher y = 12 x , y = 112 x = 2x e .
  • Para :
    Essa é a curva .
  • Para :
    Essa é a curva , que é uma hipérbole mais “achatada” que .
  • Para :
    Essa é a curva , que é uma hipérbole mais “esticada” que .

Passo 5

Com esses valores de , podemos desenhar as curvas de níveis no gráfico. Cada hipérbole representará uma curva de nível onde a função assume o valor constante escolhido.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em várias hipérboles da forma , onde cada hipérbole corresponde a um valor constante . Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas curvas formam o mapa de contorno da função, mostrando onde a função mantém valores constantes.

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