Seja
Faça o mapa de contorno (curvas de níveis) de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o mapa de contorno (também conhecido como curvas de níveis) da função
. Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis em Cálculo Multivariável. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de níveis e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de níveis. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis
é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Matematicamente, isso é representado por:
Então, para a nossa função
, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
em função de
e
. Assim, podemos visualizar as curvas de nível no plano
.
Então, para cada valor de
, temos uma hipérbole definida por
.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores de
para desenhar essas curvas. Por exemplo, podemos escolher
,
e
.
-
Para
: Essa é a curva. -
Para
: Essa é a curva, que é uma hipérbole mais “achatada” que . -
Para
: Essa é a curva, que é uma hipérbole mais “esticada” que .
Passo 5
Com esses valores de
, podemos desenhar as curvas de níveis no gráfico. Cada hipérbole representará uma curva de nível onde a função
assume o valor constante escolhido.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em várias hipérboles da forma
, onde cada hipérbole corresponde a um valor constante
. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Essas curvas formam o mapa de contorno da função, mostrando onde a função mantém valores constantes.