Seja F(x, y)=(e^2 x sen y, k e^2 x cos y), em que k é uma constante.
Determine o valor de k para que o campo F seja conservativo.

Passo 1

O campo dado é F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) com P(x,y) = e^2xsin y e Q(x,y) = k,e^2xcos y. O conteúdo é teoria de campos conservativos em R^2, e vamos precisar usar a condição partial P/partial y = partial Q/partial x.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais exigidas pelo teste de conservatividade:
A derivada de P em relação a y é
partial Ppartial y = partialpartial yl(e^2xsin yr) = e^2xcos y,
e a derivada de Q em relação a x é
partial Qpartial x = partialpartial xl(k,e^2xcos yr) = k cdot 2e^2xcos y = 2k,e^2xcos y

Passo 3

Para o campo ser conservativo, igualamos as duas derivadas:
e^2xcos y = 2k,e^2xcos y

Passo 4

Como e^2xcos y não é identicamente zero, podemos dividir ambos os lados e obter
1 = 2k Longrightarrow k = tfrac12

Resposta

k = 1/2

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