Verificar a convergência das séries
sum 1raizn log (n)

Passo 1

O exercício pede para verificar a convergência da série sumn=2^infty1raizn,ln(n). O conteúdo envolvido é o teste da integral para séries: vamos precisar definir uma função f(x) que seja contínua, positiva e decrescente em [2,infty) tal que f(n)=an.

Passo 2

Definimos f(x)=dfrac1raizx,ln(x). Primeiro, note que para todo x>2 temos ln(x)>0 e raizx>0, logo f(x)>0. Para ver que f é decrescente, podemos analisar sua derivada:
$$f’(x)=\frac{-\tfrac12x{-3/2}\ln(x)-x{-1/2}\cdot\tfrac1x}{[\ln(x)]^2}
= -\frac{\ln(x)+2}{2,x{3/2}[\ln(x)]2}<0\quad(\forall x>1).$$

Passo 3

Pelo teste da integral, a série sum an e a integral imprópria integral2^inftyf(x),dx convergem ou divergem simultaneamente. Vamos calcular
integral2^Ndxraizx,ln(x)

Passo 4

Fazendo a troca de variável x=t^2, temos dx=2t,dt e ln(x)=2ln(t). Assim:
integral2^Ndxraizx,ln(x)=integralt=raiz2^t=raizN2t,dttcdot2ln(t)=integralraiz2^raizNdtln(t)

Passo 5

Para ver que integralraiz2^inftydtln(t) diverge, compare com 1/t^1/2: para t grande, ln(t) implica 1/ln(t)>1/t^1/2. Como integral^inftyt^-1/2dt diverge, a nossa integral também diverge.

Passo 6

Como a integral imprópria diverge, o teste da integral garante que a série sumn=2^inftytfrac1raiznln(n) também diverge.

Resposta

A série diverge.

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