Verificar a convergência das séries
Passo 1
O exercício pede para verificar a convergência da série
. O conteúdo envolvido é o teste da integral para séries: vamos precisar definir uma função
que seja contínua, positiva e decrescente em
tal que
.
Passo 2
Definimos
. Primeiro, note que para todo
temos
e
, logo
. Para ver que
é decrescente, podemos analisar sua derivada:
$$f’(x)=\frac{-\tfrac12x{-3/2}\ln(x)-x{-1/2}\cdot\tfrac1x}{[\ln(x)]^2}
= -\frac{\ln(x)+2}{2,x{3/2}[\ln(x)]2}<0\quad(\forall x>1).$$
Passo 3
Pelo teste da integral, a série
e a integral imprópria
convergem ou divergem simultaneamente. Vamos calcular
Passo 4
Fazendo a troca de variável
, temos
e
. Assim:
Passo 5
Para ver que
diverge, compare com
: para
grande,
implica
. Como
diverge, a nossa integral também diverge.
Passo 6
Como a integral imprópria diverge, o teste da integral garante que a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.