Encontre o fluxo do campo vetorial F ao longo da porção de superfície, levando em consideração o sentido especificado:
F(x, y, z)=(-1,2,3), S: z=0, tal que 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 3, e sentido k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o fluxo de um campo vetorial ao longo de uma porção de superfície , que é o plano limitado por e . O sentido indicado para o fluxo é na direção do vetor , que aponta para cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de fluxo.

Passo 2

O fluxo de um campo vetorial Phi = integral duplaS F cdot n , dS através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Como a superfície n = (0, 0, 1) está no plano e o sentido é na direção de (para cima), o vetor normal é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n = (-1, 2, 3) cdot (0, 0, 1) = -1 cdot 0 + 2 cdot 0 + 3 cdot 1 = 3 :
Isso significa que o fluxo será constante sobre toda a superfície.

Passo 5

Em seguida, calculamos a área da superfície A = largura times a. Como é um retângulo com e , a área é:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o valor do produto escalar pela área para encontrar o fluxo:
Phi = 3 times 6 = 18

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é igual a 18.

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