Encontre o fluxo do campo vetorial
ao longo da porção de superfície, levando em consideração o sentido especificado:
, tal que
e
, e sentido
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o fluxo de um campo vetorial
ao longo de uma porção de superfície
, que é o plano
limitado por
e
. O sentido indicado para o fluxo é na direção do vetor
, que aponta para cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de fluxo.
Passo 2
O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado pela integral de superfície:
onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Como a superfície
está no plano
e o sentido é na direção de
(para cima), o vetor normal
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Isso significa que o fluxo será constante sobre toda a superfície.
Passo 5
Em seguida, calculamos a área da superfície
. Como
é um retângulo com
e
, a área
é:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos o valor do produto escalar pela área para encontrar o fluxo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é igual a 18.