Seja f(x, y)=81 x^2+y^2 definida em tal que .
Determine e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) em tal que (Ou seja, no interior do conjunto D=(x, y) in R^2 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 81x^{2} + y^{2} $ dentro do conjunto $ D = {(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4x^{2} + y^{2} < 9} $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente encontrar onde a função tem derivadas parciais iguais a zero (pontos críticos) e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
162x = 0 Rightarrow x = 0
2y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 4

Antes de classificar o ponto crítico, precisamos verificar se ele está dentro do conjunto $ D $. Vamos substituir $ x = 0 $ e $ y = 0 $ na inequação que define $ D $:
D
Como $ 0 < 9 $ é verdadeiro, o ponto $ (0, 0) $ está dentro de $ D $.

Passo 5

Agora, vamos classificar o ponto crítico utilizando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 = 162
partial^2 fpartial x partial y = 0
partial^2 fpartial y^2 = 2
Em seguida, calculamos o discriminante $ \Delta $:
De
Como $ \Delta > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} > 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico no interior de $ D $ é $ (0, 0) $, que é um mínimo local da função $ f(x, y) = 81x^{2} + y^{2} $.

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