Seja
definida em tal que .
Determine e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) em tal que (Ou seja, no interior do conjunto
).
Determine e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) em tal que (Ou seja, no interior do conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 81x^{2} + y^{2} $ dentro do conjunto $ D = {(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4x^{2} + y^{2} < 9} $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente encontrar onde a função tem derivadas parciais iguais a zero (pontos críticos) e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.
Passo 4
Antes de classificar o ponto crítico, precisamos verificar se ele está dentro do conjunto $ D $. Vamos substituir $ x = 0 $ e $ y = 0 $ na inequação que define $ D $:
Como $ 0 < 9 $ é verdadeiro, o ponto $ (0, 0) $ está dentro de $ D $.
Passo 5
Agora, vamos classificar o ponto crítico utilizando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
Em seguida, calculamos o discriminante $ \Delta $:
Como $ \Delta > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} > 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico no interior de $ D $ é $ (0, 0) $, que é um mínimo local da função $ f(x, y) = 81x^{2} + y^{2} $.