Seja
definida em tal que .
Utilize o teorema de Lagrange para determinar os valores máximos e míninos na fronteira de
(Ou seja, no conjunto tal que )
Utilize o teorema de Lagrange para determinar os valores máximos e míninos na fronteira de
Passo 1
O enunciado pede pra gente usar o método dos multiplicadores de Lagrange pra achar os extremos de
função sujeita à restrição
. Isso é um problema de otimização com
restrição em . Vamos precisar montar a função de Lagrange e resolver o sistema
junto com a própria restrição.
função
restrição em
Passo 2
Primeiro, identificamos o gradiente de
e o gradiente da função de restrição
:
A condição de Lagrange é:
e ainda temos a restrição
Passo 3
Agora vamos resolver o sistema
Note que dessas duas primeiras equações surgem dois casos distintos: ou
ou
. Vamos tratar cada caso.
Passo 4
Caso 1: suposição
.
Da equação tiramos
Da equação
Da equação
temos
Substituindo na restrição:
Logo, os pontos críticos deste caso são
.
Passo 5
Caso 2: suposição
.
Substituindo na restrição:
Substituindo na restrição:
Para
, da equação
tiramos
. Assim, obtemos os pontos críticos
e
.
Passo 6
Agora avaliamos
em todos esses candidatos:
Em :
Em
Em
:
Passo 7
Comparando os valores, vemos que o menor valor de
na fronteira é
e o maior valor é
.
Os mínimos ocorrem em e
,
eos máximos ocorrem em e
.
Os mínimos ocorrem em
eos máximos ocorrem em
Resposta
Mínimo de
na fronteira:
em
e
. Máximo de
na fronteira:
em
e
.