Seja f(x, y)=81 x^2+y^2 definida em tal que .
Utilize o teorema de Lagrange para determinar os valores máximos e míninos na fronteira de D=(x, y) in R^2 (Ou seja, no conjunto tal que )

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar o método dos multiplicadores de Lagrange pra achar os extremos de
função f(x,y)=81x^2+y^2 sujeita à restrição 4x^2+y^2=9. Isso é um problema de otimização com
restrição em R^2. Vamos precisar montar a função de Lagrange e resolver o sistema
nabla f=lambdanabla g junto com a própria restrição.

Passo 2

Primeiro, identificamos o gradiente de f e o gradiente da função de restrição g(x,y)=4x^2+y^2-9:
nabla f(x,y)=(162x,;2y),
nabla g(x,y)=(8x,;2y)
A condição de Lagrange é:
(162x,;2y)=lambda(8x,;2y)
e ainda temos a restrição
4x^2+y^2=9

Passo 3

Agora vamos resolver o sistema
162x=lambda,8x, 2y=lambda,2y, 4x^2+y^2=9
Note que dessas duas primeiras equações surgem dois casos distintos: ou x=0 ou xneq0. Vamos tratar cada caso.

Passo 4

Caso 1: suposição xneq0.
Da equação 162x=lambda,8x tiramos
lambda=1628=814
Da equação 2y=lambda,2y temos
2y=814,2yimpliesl(1-tfrac814r)2y=0implies y=0
Substituindo na restrição:
4x^2+0^2=9implies x^2=94implies x=pmtfrac32
Logo, os pontos críticos deste caso são (x,y)=(pmtfrac32,0).

Passo 5

Caso 2: suposição x=0.
Substituindo na restrição:
4cdot0^2+y^2=9implies y^2=9implies y=pm3
Para yneq0, da equação 2y=lambda,2y tiramos lambda=1. Assim, obtemos os pontos críticos
(0,3) e (0,-3).

Passo 6

Agora avaliamos f em todos esses candidatos:
Em (pmtfrac32,0):
fl(pmtfrac32,0r)=81l(tfrac32r)^2+0^2=81cdottfrac94=tfrac7294
Em (0,pm3):
f(0,pm3)=81cdot0^2+3^2=9

Passo 7

Comparando os valores, vemos que o menor valor de f na fronteira é 9 e o maior valor é tfrac7294.
Os mínimos ocorrem em (0,3) e (0,-3),
eos máximos ocorrem em (tfrac32,0) e (-tfrac32,0).

Resposta

Mínimo de f na fronteira: 9 em (0,3) e (0,-3). Máximo de f na fronteira: tfrac7294 em (tfrac32,0) e (-tfrac32,0).

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