Seja f(x, y)=c e^-(x^2-x y+4 y^2) / 2, x in R.
Determine o valor de c para que f seja uma densidade.

Passo 1

O enunciado diz que temos
f(x,y)=c,e^-x^2 - x y +4y^22, x,yin R,
e pede para achar o valor de integral-infty^infty e^-a u^2,du = raizpia, a>0 de modo que seja uma densidade conjunta (isto é, integre 1 sobre ).
Conteúdo: densidade de probabilidade contínua e integrais gaussianas. Vamos precisar saber completar quadrados em duas variáveis e usar a fórmula

Passo 2

Para ser densidade, vale
integral dupla R^2 f(x,y),dx,dy = integral dupla R^2 c,e^-x^2 -xy +4y^22,dx,dy ;=;1
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c = 1 integral dupla R^2 e^-x^2 -xy +4y^22,dx,dy

Passo 3

Precisamos calcular
x^2 - x y = l(x - tfracy2r)^2 ;-;y^24 .
Primeiro, completa o quadrado em x^2 - x y +4y^2 = l(x - tfracy2r)^2 + 154,y^2 :
I = integral dupla exp!l[-tfrac12l(x-tfrac y2r)^2r] ;exp!l[-tfrac12cdottfrac154y^2r] ,dx,dy
Então
Assim

Passo 4

Agora dá pra separar em duas integrais:
  1. em :
    .
    Como é só um deslocamento, vale
  2. em :

Passo 5

Multiplicando as duas:
I = raiz2pi;times;raiz8pi15 = raiz16pi^215 = 4piraiz15
Então
c = 1I = 1,4pi/raiz15, = raiz154pi

Resposta

boxedc = raiz154pi

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