Seja
.
Determine o valor de
para que
seja uma densidade.
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado diz que temos
e pede para achar o valor de
de modo que
seja uma densidade conjunta (isto é, integre 1 sobre
).
Conteúdo: densidade de probabilidade contínua e integrais gaussianas. Vamos precisar saber completar quadrados em duas variáveis e usar a fórmula
Conteúdo: densidade de probabilidade contínua e integrais gaussianas. Vamos precisar saber completar quadrados em duas variáveis e usar a fórmula
Passo 2
Para ser densidade, vale
Logo
Passo 3
Precisamos calcular
.
Primeiro, completa o quadrado em :
Primeiro, completa o quadrado em
Então
Assim
Passo 4
Agora dá pra separar em duas integrais:
-
em
:
.
Como é só um deslocamento, vale
-
em
:
Passo 5
Multiplicando as duas:
Então