Seja um vetor aleatório com densidade dada por
fX, Y(x, y)= k x y & 0á
onde k é uma constante.
São X e Y independentes? Justifique.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que fX,Y(x,y)= k,x,y, & 0 tem densidade
á
e pergunta se e são independentes.
Conteúdo: variáveis aleatórias contínuas, densidade conjunta, densidades marginais e critério de independência.
O que vamos precisar:
  1. Achar a constante de normalização .
  2. Calcular as densidades marginais e .
  3. Verificar se .

Passo 2

Primeiro, a gente encontra 1 =integraly=0^1!integralx=0^y k,x,y,dx,dy = kintegral0^1 y!gl[integral0^y x,dxgr]dy = kintegral0^1 ycdoty^22,dy = k2integral0^1 y^3,dy = k2cdot14 = k8 usando a condição
.
Como só é não zero quando ,
Logo .

Passo 3

Agora as marginais.
Para fX(x) =integraly=x^1 8,x,y,dy =8xintegralx^1 y,dy =8xl[tfracy^22r]x^1 =4xl(1 - x^2r), 0, integramos em fY(y) =integralx=0^y 8,x,y,dx =8yintegral0^y x,dx =8ycdoty^22 =4y^3, 0 de até :
Para , integramos em de até :

Passo 4

Critério de independência: fX,Y(x,y) = fX(x),fY(y) e fX(x),fY(y) =l[4x(1-x^2)r]l[4y^3r] =16,x,y^3,(1-x^2) são independentes se, para todo fX,Y(x,y)=8,x,y (0,
16,x,y^3,(1-x^2)neq 8,x,y
Calculemos o produto:
Mas a densidade conjunta é
Claramente
em geral. Então não dá pra escrever a densidade como produto das marginais.

Resposta

e não são independentes, pois
.

Exercícios relacionados