Seja um vetor aleatório com densidade dada por
onde
é uma constante.
São
e
independentes? Justifique.
São
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que
tem densidade
e pergunta se
e
são independentes.
Conteúdo: variáveis aleatórias contínuas, densidade conjunta, densidades marginais e critério de independência.
O que vamos precisar:
Conteúdo: variáveis aleatórias contínuas, densidade conjunta, densidades marginais e critério de independência.
O que vamos precisar:
- Achar a constante de normalização
. - Calcular as densidades marginais
e . - Verificar se
.
Passo 2
Primeiro, a gente encontra
usando a condição
.
Como só é não zero quando ,
Como só é não zero quando
Logo
.
Passo 3
Agora as marginais.
Para , integramos em
de
até
:
Para
Para
, integramos em
de
até
:
Passo 4
Critério de independência:
e
são independentes se, para todo
,
Calculemos o produto:
Mas a densidade conjunta é
Claramente
em geral. Então não dá pra escrever a densidade como produto das marginais.