Suponha que X e Y têm uma densidade conjunta uniforme no interior do triângulo com vértices em (0,0),(2,0) e(1,2). Obtenha P(X <= 1, Y <= 1).

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede é a probabilidade de cair na região onde e , sabendo que é uniformemente distribuído dentro do triângulo com vértices em , e .
Conteúdo: densidade conjunta uniforme e integração (ou área de regiões).
O que vamos precisar:
  1. Calcular a área do triângulo para achar a densidade .
  2. Identificar a região de integração (interseção do triângulo com o retângulo ).
  3. Calcular a área dessa região e multiplicar pela densidade.

Passo 2

Primeiro, área do triângulo original. Base = 2 (entre Áreatriang<= = basetimesa e f(x,y) = 1Áreatriang<= = 12, (x,y) dentro do triângulo ), altura = 2 (o ponto tem ).
Logo
Á
Como é uniforme, a densidade dentro do triângulo é
Áâ

Passo 3

Agora queremos a área da parte do triângulo onde e .
As arestas do triângulo são dadas pelas retas:
  • De a : .
  • De a : .
    No intervalo , a fronteira superior é (pois ali).
    Mas também impomos . Então, para cada , varia de até .
    Note que quando .

Passo 4

Vamos dividir a área em dois pedaços:
  1. A = integral0^1/2(2x),dx ;+;integral1/2^11,dx : integral0^1/22x,dx = l[x^2r]0^1/2 = tfrac14, vai de 0 a integral1/2^11,dx = l[xr]1/2^1 = 1 - tfrac12 = tfrac12 .
  2. : vai de 0 a 1.
    Então a área buscada é
Calculando:
Logo .

Passo 5

Como P(X<=1,,Y<=1) = f times A = 12 times 34 = 38 dentro do triângulo, a probabilidade é

Resposta

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