Suponha que
e
têm uma densidade conjunta uniforme no interior do triângulo com vértices em
. Obtenha
.
Passo 1
Beleza, então o que a questão pede é a probabilidade de
cair na região onde
e
, sabendo que
é uniformemente distribuído dentro do triângulo com vértices em
,
e
.
Conteúdo: densidade conjunta uniforme e integração (ou área de regiões).
O que vamos precisar:
Conteúdo: densidade conjunta uniforme e integração (ou área de regiões).
O que vamos precisar:
- Calcular a área do triângulo para achar a densidade
. - Identificar a região de integração (interseção do triângulo com o retângulo
). - Calcular a área dessa região e multiplicar pela densidade.
Passo 2
Primeiro, área do triângulo original. Base = 2 (entre
e
), altura = 2 (o ponto
tem
).
Logo
Logo
Como é uniforme, a densidade dentro do triângulo é
Passo 3
Agora queremos a área da parte do triângulo onde
e
.
As arestas do triângulo são dadas pelas retas:
As arestas do triângulo são dadas pelas retas:
- De
a : . - De
a : .
No intervalo, a fronteira superior é (pois ali).
Mas também impomos. Então, para cada , varia de até .
Note quequando .
Passo 4
Vamos dividir a área em dois pedaços:
-
: vai de 0 a . -
: vai de 0 a 1.
Então a área buscada é
Calculando:
Logo
.
Passo 5
Como
dentro do triângulo, a probabilidade é