Seja um vetor aleatório com densidade dada por
fX, Y(x, y)= k x y & 0á
onde k é uma constante.
Determine o valor de k.

Passo 1

Então, a questão dá uma densidade conjunta
fX,Y(x,y)=k,x,y,&0á
e pede pra achar o valor de k. Isso é probabilidade contínua: a soma (na prática, a integral dupla) de toda a densidade tem que dar 1. Vamos usar cálculo (integração dupla) e a tal condição de normalização para descobrir k.

Passo 2

A teoria manda que
integral dupla R^2fX,Y(x,y),dx,dy = 1
Como f(x,y)neq0 só quando 0, a integral vira
kintegraly=0^1integralx=0^yx,y,dx,dy = 1

Passo 3

Primeiro, fazemos a integral interna em x:
integralx=0^yx,y,dx = yintegral0^yx,dx = ycdoty^22 = y^32

Passo 4

Agora a integral externa em y:
$$k\int_{0}{1}\frac{y3}{2},dy = k\cdot\frac12\int_{0}{1}y3,dy
= k\cdot\frac12\cdot\frac{1}{4} = \frac{k}{8}. kintegral0^1y^32,dy = kcdot12integral0^1y^3,dy = kcdot12cdot14 = k8á\frac{k}{8}=1\quad\Longrightarrow\quad k=8.$$

Resposta

k = 8

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