Seja
.
(b) Se
e
tem densidade conjunta
, determine as marginais de
e
e verifique se são independentes.
(b) Se
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade conjunta
e pede para achar as marginais
e
e ver se
e
são independentes.
Conteúdo: densidade conjunta de variável contínua, marginais e teste de independência. Vamos precisar de
Conteúdo: densidade conjunta de variável contínua, marginais e teste de independência. Vamos precisar de
- normalizar a densidade (achar
), - integrar em
para e em para , - comparar
com .
Passo 2
Primeiro achamos
usando a fórmula do integral gaussiano em duas dimensões:
onde
.
Calcula-se
,
logo
Calcula-se
logo
Para normalizar igual a 1, precisa
Passo 3
Agora
.
Escrevendo
Escrevendo
completa-se o quadrado em
:
Assim o expoente vira
.
O integral gaussiano .
Fica
O integral gaussiano
Fica
Passo 4
De modo parecido,
Completando quadrado em
:
.
Vira .
E .
Logo
Vira
E
Logo
Passo 5
Pra ver independência, verifica se
.
Como o expoente de tem termo cruzado
e
não, não dá pra igualar.
Portanto não são independentes.
Como o expoente de
Portanto não são independentes.
Resposta
Marginais:
Elas não se multiplicam para formar
, então
e
não são independentes.