Seja f(x, y)=c e^-(x^2-x y+4 y^2) / 2, x in R.
(b) Se X e Y tem densidade conjunta f, determine as marginais de X e Y e verifique se são independentes.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade conjunta
f(x,y) = c,e^-x^2 - xy + 4y^22, x,yin R,
e pede para achar as marginais e e ver se e são independentes.
Conteúdo: densidade conjunta de variável contínua, marginais e teste de independência. Vamos precisar de
  1. normalizar a densidade (achar ),
  2. integrar em para e em para ,
  3. comparar com .

Passo 2

Primeiro achamos integral dupla R^2 e^-12,(x,y)A(x,y)^top,dx,dy = 2piraizdet A, usando a fórmula do integral gaussiano em duas dimensões:
1&-1/2-1/2&4
onde integral dupla f(x,y),dx,dy = cintegral dupla e^-12(x,y)A(x,y)^topdx,dy = c;2piraiz15/4 = c;2pi(raiz15/2) = c;4piraiz15 .
Calcula-se
c = raiz154pi ,
logo
Para normalizar igual a 1, precisa

Passo 3

Agora fX(x) = c,e^-x^2/2 integral-infty^infty e^-12(4y^2 - xy),dy, .
Escrevendo
4y^2 - xy = 4l(y-tfracx8r)^2 - tfracx^216
completa-se o quadrado em fX(x) = c,e^-15x^232;raizpi2 = raiz154pi;raizpi2; e^-tfrac15x^232 = raiz1532pi;e^-15x^232 :
Assim o expoente vira .
O integral gaussiano .
Fica

Passo 4

De modo parecido,
fY(y)=integral-infty^infty f(x,y),dx = c,e^-2y^2 integral e^-12(x^2 -xy)dx
Completando quadrado em fY(y) = c,e^-tfrac15y^28;raiz2pi = raiz154piraiz2pi;e^-tfrac15y^28 = raiz158pi;e^-15y^28 : .
Vira .
E .
Logo

Passo 5

Pra ver independência, verifica se
.
Como o expoente de tem termo cruzado e não, não dá pra igualar.
Portanto não são independentes.

Resposta

Marginais:
fX(x)=raiz1532pi,e^-15x^232, fY(y)=raiz158pi,e^-15y^28
Elas não se multiplicam para formar , então e não são independentes.

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