Verifique que se X1, X2, ldots, Xn são v.a.s independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com distribuição comum N(0,1) então X1^2+X2^2+cdots+Xn^2 tem distribuição Gama(n / 2,1 / 2) (esta distribuição é conhecida como qui-quadrado com n graus de liberdade e denotada chi^2(n) ).
(Sugestão: use os exercícios (15b) da Lista 7 e (5b) anterior)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, se S = X1^2 + X2^2 + cdots + Xn^2 são i.i.d. , então
segue uma , que é justamente a distribuição .
Conteúdo envolvido:
  • Transformação de variável para achar a densidade de .
  • Definição da distribuição Gama e seus parâmetros (forma e taxa ).
  • Propriedade de soma de variáveis Gama com mesma taxa.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a densidade de fX(x) = 1raiz2pi e^-x^2/2, xinR para fY(y) = fX(raiz y),12raiz y + fX(-raiz y),12raiz y = 2cdot1raiz2pie^-y/2,12raiz y = 1raiz2pi ye^-y/2, y>=0 .
  1. A densidade de fY(y) = beta^alphaGamma(alpha),y^alpha-1e^-beta y com alpha=tfrac12,;beta=tfrac12 é
  2. Como , invertemos: , e .
  3. A densidade de vira
  4. Reconhecemos a forma da Gama: Logo .

Passo 3

Agora, usamos que se sumi=1^n Yi sim Gama!l(sumi=1^nalphai,;betar) são independentes e cada S = sumi=1^n Xi^2 = sumi=1^n Yi sim Gama!l(ntimestfrac12,;tfrac12r) = Gamal(n/2,,1/2r) com mesma taxa , então
Aqui cada e , então

Passo 4

Só pra reforçar: a distribuição nada mais é do que .

Resposta

, ou seja .

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