Verifique que se são v.a.s independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com distribuição comum então tem distribuição (esta distribuição é conhecida como qui-quadrado com graus de liberdade e denotada ).
(Sugestão: use os exercícios (15b) da Lista 7 e (5b) anterior)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, se são i.i.d. , então
segue uma , que é justamente a distribuição .
Conteúdo envolvido:
Transformação de variável para achar a densidade de .
Definição da distribuição Gama e seus parâmetros (forma e taxa ).
Propriedade de soma de variáveis Gama com mesma taxa.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a densidade de para .
A densidade de é
Como , invertemos: , e .
A densidade de vira
Reconhecemos a forma da Gama:Logo .
Passo 3
Agora, usamos que se sumi=1^n Yi sim Gama!l(sumi=1^nalphai,;betar) são independentes e cada S = sumi=1^n Xi^2 = sumi=1^n Yi sim Gama!l(ntimestfrac12,;tfrac12r) = Gamal(n/2,,1/2r) com mesma taxa , então
Aqui cada e , então
Passo 4
Só pra reforçar: a distribuição nada mais é do que .