Seja
um ponto crítico de
e suponha que
seja de classe
na bola aberta
de centro
. Prove que para todo
em
, existe
interno ao segmento de extremidades
e
tal que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, sendo
um ponto crítico de
e
de classe
numa bola aberta
centrada em
, então para todo
existe um ponto
interior ao segmento que liga
a
tal que
Informações dadas que vamos usar:
-
é de classe em (portanto todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem existem e são contínuas em ); -
é ponto crítico, isto é e ; -
é um ponto qualquer de (o segmento de extremidades e fica contido em porque uma bola aberta é um conjunto convexo em relação a segmentos a partir do centro até um ponto dentro dela).
Passo 2
Vamos reduzir o problema a um teorema de uma variável aplicando
ao longo do segmento que une
a
. Defina as diferenças
Assim o ponto
pode ser escrito como
. Agora considere a aplicação de
ao longo do parâmetro
que percorre o segmento:
Explicação do porquê:
é uma função de uma variável cuja avaliação em
dá
e em
dá
. Se conseguirmos aplicar o teorema de Taylor (forma de Lagrange) para
, obtemos uma expressão para
. Como
é
e o segmento está em
,
é
em
.
Passo 3
Calcule
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, derivando
em relação a
,
Em particular, em
temos
Como
é ponto crítico,
e
. Logo
Passo 4
Agora calcule
derivando
novamente. Diferenciando a expressão de
e aplicando a regra da cadeia às derivadas parciais internas obtemos
Agrupando os termos com
,
e
e usando a igualdade das derivadas mistas
(que vale porque
é
), obtemos
Passo 5
Aplique o Teorema de Taylor de uma variável (forma de Lagrange) à função
no intervalo
. Esse teorema afirma: se
é
em
, então existe
tal que
Já vimos que
, portanto
Substituindo a expressão de
com
e lembrando
,
, obtemos
Passo 6
Defina
e
. Como
, o ponto
pertence ao segmento interior com extremidades
e
. Reescrevendo a fórmula anterior em termos de
e de
,
obtemos exatamente a igualdade requisitada:
completando a prova.
Resposta
onde
para algum
.