Encontre o conjunto fundamental de soluções
para equação diferencial
que satisfaçam as condições
Escolha uma opção:
e
e
e
e
e
Nenhuma das demais alternativas
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar o conjunto fundamental de soluções
para a equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos condições iniciais para a função
:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas, encontrar as raízes da equação característica e construir as soluções exponenciais correspondentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação da forma:
a equação característica é:
No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
e
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Com as raízes
e
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Esse é o conjunto fundamental de soluções
, onde:
Passo 5
Agora, vamos ajustar essas soluções para atender às condições iniciais dadas para
. Queremos que:
Vamos assumir que
é uma combinação linear das soluções básicas:
Calculando a derivada:
Aplicando as condições iniciais:
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Agora, encontrando
:
Portanto, a solução
é:
Rearranjando:
Isso corresponde à primeira opção apresentada.
Resposta
A resposta correta é: