Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para equação diferencial
y^prime prime+4 y^prime+3 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(1)=1 y1^prime(1) =0
Escolha uma opção:
y1(t)=-13[-e^3(t-1)+3 e^-(t-1)] e y2(t)=-13[-e^3(t-1)+e^-(t-1)]
y1(t)=-12[-e^2(t-1)+3 e^-(t-1)] e y2(t)=-13[-e^3(t-1)+e^-(t-1)]
y1(t)=-12[-e^3(t-1)+3 e^-(t-1)] e y2(t)=-12[-e^3(t-1)+e^-(t-1)]
y1(t)=-12[-e^2(t-1)+3 e^-(t-1)] e y2(t)=-12[-e^3(t-1)+e^-(t-1)]
y1(t)=-12[-e^3(t-1)+3 e^-(t-1)] e y2(t)=-13[-e^t-1+e^-(t-1)]
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para a equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 4y' + 3y = 0
Além disso, temos condições iniciais para a função y1:
y1(1) = 1 e y1'(1) = 0
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas, encontrar as raízes da equação característica e construir as soluções exponenciais correspondentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação da forma:
y'' + a y' + b y = 0
a equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, a = 4 e b = 3, então a equação característica fica:
r^2 + 4r + 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática r^2 + 4r + 3 = 0 para encontrar as raízes r1 e r2. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 4 e c = 3. Calculando o discriminante ( De):
De
Como De 0, temos duas raízes reais e distintas:
r1 = -4 + raiz42 = -4 + 22 = -1
r2 = -4 - raiz42 = -4 - 22 = -3

Passo 4

Com as raízes r1 = -1 e r2 = -3, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^-t + C2 e^-3t
Esse é o conjunto fundamental de soluções y1, y2, onde:
y1(t) = e^-t e y2(t) = e^-3t

Passo 5

Agora, vamos ajustar essas soluções para atender às condições iniciais dadas para y1(t). Queremos que:
y1(1) = 1 e y1'(1) = 0
Vamos assumir que y1(t) é uma combinação linear das soluções básicas:
y1(t) = A e^-t + B e^-3t
Calculando a derivada:
y1'(t) = -A e^-t - 3B e^-3t
Aplicando as condições iniciais:
y1(1) = A e^-1 + B e^-3 = 1 (1)
y1'(1) = -A e^-1 - 3B e^-3 = 0 (2)
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2):
-A e^-1 - 3B e^-3 = 0 implies A e^-1 = -3B e^-3
A = -3B e^-2
Substituindo A na equação (1):
-3B e^-2 e^-1 + B e^-3 = 1
-3B e^-3 + B e^-3 = 1
-2B e^-3 = 1 implies B = -12 e^3
Agora, encontrando A:
A = -3 (-12 e^3) e^-2 = 32 e^1
Portanto, a solução y1(t) é:
y1(t) = 32 e^1 e^-t - 12 e^3 e^-3t = 32 e^-(t-1) - 12 e^-3(t-1)
Rearranjando:
y1(t) = -12 [-3 e^-(t-1) + e^-3(t-1)]
Isso corresponde à primeira opção apresentada.

Resposta

A resposta correta é:
y1(t) = -12[-e^3(t-1) + 3 e^-(t-1)] e y2(t) = -12[-e^3(t-1) + e^-(t-1)]

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