Seja f=f(x, y) uma função de classe C^{2} e seja g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por g(u, v)=u f\left(u^{2}-v, u+2 v\right).
(a) Determine g_{u v} em função das derivadas parciais de f.
(b) Sabendo que 3 x+5 y=z+26 é o plano tangente ao gráfico de f, f_{x y}(1,4)=f_{x x}(1,4)=1 e f_{y y}(1,4)=-1, calcule g_{u v}(-2,3).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar g_{u v} em função das derivadas parciais de f, onde g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é dada por g(u,v)=u\,f\big(u^{2}-v,\;u+2v\big).
  2. (b) Usando informações sobre o plano tangente ao gráfico de f e valores das segundas derivadas em (1,4), calcular g_{u v}(-2,3).
Informações fornecidas:
  • g(u,v)=u\,f\big(u^{2}-v,\;u+2v\big).
  • O plano tangente ao gráfico de f é dado por 3x+5y=z+26.
  • Em (1,4) vale f_{x y}(1,4)=1, f_{x x}(1,4)=1 e f_{y y}(1,4)=-1.
  • Precisamos extrair também f(1,4), f_x(1,4) e f_y(1,4) a partir do plano tangente (isso será feito nos passos seguintes).

Passo 2

Primeiro vamos definir variáveis intermediárias para aplicar a regra da cadeia com clareza. Defina
x(u,v)=u^{2}-v,\qquad y(u,v)=u+2v.
Assim podemos escrever
g(u,v)=u\,f\big(x(u,v),y(u,v)\big).
Anote as derivadas parciais de x e y (são fáceis de calcular):
x_u=2u,\quad x_v=-1,\quad y_u=1,\quad y_v=2.
Vou usar a notação curta em que f_x,f_y,f_{xx},f_{xy},f_{yy} significam as derivadas de f avaliadas no ponto \big(x(u,v),y(u,v)\big), sempre que não for explicitado o argumento.

Passo 3

Agora calculamos g_u. Como g(u,v)=u\cdot F(u,v) com F(u,v)=f\big(x(u,v),y(u,v)\big), aplicamos a regra do produto:
g_u = 1\cdot F + u\cdot F_u.
Precisamos de F_u. Pela regra da cadeia para derivadas parciais,
F_u = f_x\cdot x_u + f_y\cdot y_u.
Substituindo x_u=2u e y_u=1 obtemos
F_u = f_x\cdot 2u + f_y\cdot 1 = 2u\,f_x + f_y.
Portanto
g_u = f + u\big(2u\,f_x + f_y\big),
onde, novamente, todas as derivadas de f são avaliadas em \big(x(u,v),y(u,v)\big).

Passo 4

Agora derivamos g_u em relação a v para obter g_{u v}. Vamos derivar termo a termo:
g_u = f + u\big(2u\,f_x + f_y\big).
  1. Derivada de f em relação a v: pela regra da cadeia
\big(f(x,y)\big)_v = f_x\cdot x_v + f_y\cdot y_v = f_x\cdot(-1) + f_y\cdot 2 = -f_x + 2f_y.
  1. Agora derivada do segundo termo u\big(2u\,f_x + f_y\big) em relação a v. Note que u é tratado como constante ao derivar em v. Então
\frac{\partial}{\partial v}\Big[u\big(2u\,f_x + f_y\big)\Big] = u\cdot\frac{\partial}{\partial v}\big(2u\,f_x + f_y\big).
Dentro do parêntese, 2u é constante em relação a v, então
\frac{\partial}{\partial v}\big(2u\,f_x + f_y\big) = 2u\cdot (f_x)_v + (f_y)_v.
Aplicando novamente a regra da cadeia para (f_x)_v e (f_y)_v:
(f_x)_v = f_{xx}\,x_v + f_{xy}\,y_v = f_{xx}\cdot(-1) + f_{xy}\cdot 2 = -f_{xx} + 2f_{xy},
(f_y)_v = f_{yx}\,x_v + f_{yy}\,y_v = f_{xy}\cdot(-1) + f_{yy}\cdot 2 = -f_{xy} + 2f_{yy},
onde usei f_{yx}=f_{xy} por f ser de classe C^2.

Passo 5

Juntando tudo obtemos a expressão para g_{u v}:
g_{u v} = (-f_x + 2f_y) + u\Big(2u\big(-f_{xx}+2f_{xy}\big) + \big(-f_{xy}+2f_{yy}\big)\Big),
com todas as derivadas de f avaliadas no ponto
\big(x(u,v),y(u,v)\big)=\big(u^{2}-v,\;u+2v\big).
Isto responde a parte (a): a fórmula geral de g_{u v} em função das derivadas parciais de f.

Passo 6

Agora parte (b). Primeiro extraímos f(1,4), f_x(1,4) e f_y(1,4) do plano tangente. O plano tangente ao gráfico de f em (1,4) tem equação
z = f(1,4) + f_x(1,4)\,(x-1) + f_y(1,4)\,(y-4).
O enunciado dá o plano 3x+5y=z+26. Reescrevendo:
z = 3x + 5y -26.
Comparando os coeficientes das variáveis, obtemos
f_x(1,4)=3,\qquad f_y(1,4)=5.
Para encontrar f(1,4), avalie o plano em (x,y)=(1,4):
f(1,4)=z(1,4)=3\cdot 1 + 5\cdot 4 -26 = 3+20-26 = -3.

Passo 7

Determine onde devemos avaliar as derivadas no cálculo de g_{u v}(-2,3). Para (u,v)=(-2,3),
x = u^{2}-v = (-2)^{2}-3 = 4-3 = 1,
y = u+2v = -2 + 2\cdot 3 = -2+6 = 4.
Ou seja, todas as derivadas de f necessárias para avaliar g_{u v}(-2,3) são precisamente as avaliadas em (1,4), e estamos dados f_{xx}(1,4)=1, f_{xy}(1,4)=1, f_{yy}(1,4)=-1. Também já temos f_x(1,4)=3, f_y(1,4)=5, f(1,4)=-3 do passo anterior.

Passo 8

Agora substituímos os valores na fórmula de g_{u v}:
A fórmula geral (repetindo) é
g_{u v}(u,v) = -f_x + 2f_y + u\Big(2u(-f_{xx}+2f_{xy}) + (-f_{xy}+2f_{yy})\Big),
avaliada em \big(x,y\big)=(u^{2}-v,u+2v).
Substituindo (u,v)=(-2,3) e as derivadas em (1,4):
-f_x(1,4)+2f_y(1,4) = -3 + 2\cdot 5 = -3 + 10 = 7.
Calcule o termo interno:
- f_{xx}(1,4)+2f_{xy}(1,4) = -1 + 2\cdot 1 = -1 + 2 = 1,
então
2u\big(- f_{xx}+2f_{xy}\big) = 2\cdot(-2)\cdot 1 = -4.
E
- f_{xy}(1,4) + 2 f_{yy}(1,4) = -1 + 2\cdot(-1) = -1 -2 = -3.
Somando esses dois termos internos:
-4 + (-3) = -7.
Multiplicando por u=-2:
u\cdot(-7) = (-2)\cdot(-7) = 14.
Finalmente:
g_{u v}(-2,3) = 7 + 14 = 21.

Resposta

(a) g_{u v}(u,v) = -f_x\big(u^{2}-v,\;u+2v\big) + 2f_y\big(u^{2}-v,\;u+2v\big) + u\Big(2u\big(-f_{xx}\big(u^{2}-v,\;u+2v\big)+2f_{xy}\big(u^{2}-v,\;u+2v\big)\big) + \big(-f_{xy}\big(u^{2}-v,\;u+2v\big)+2f_{yy}\big(u^{2}-v,\;u+2v\big)\big)\Big)
(b) 21

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