Seja
uma função de classe
e seja
dada por
.
(a) Determine
em função das derivadas parciais de
.
(b) Sabendo que
é o plano tangente ao gráfico de
,
e
, calcule
.
(a) Determine
(b) Sabendo que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar
em função das derivadas parciais de , onde é dada por . - (b) Usando informações sobre o plano tangente ao gráfico de
e valores das segundas derivadas em , calcular .
Informações fornecidas:
-
. - O plano tangente ao gráfico de
é dado por . - Em
vale , e . - Precisamos extrair também
, e a partir do plano tangente (isso será feito nos passos seguintes).
Passo 2
Primeiro vamos definir variáveis intermediárias para aplicar a regra da cadeia com clareza. Defina
Assim podemos escrever
Anote as derivadas parciais de
e
(são fáceis de calcular):
Vou usar a notação curta em que
significam as derivadas de
avaliadas no ponto
, sempre que não for explicitado o argumento.
Passo 3
Agora calculamos
. Como
com
, aplicamos a regra do produto:
Precisamos de
. Pela regra da cadeia para derivadas parciais,
Substituindo
e
obtemos
Portanto
onde, novamente, todas as derivadas de
são avaliadas em
.
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
para obter
. Vamos derivar termo a termo:
- Derivada de
em relação a : pela regra da cadeia
- Agora derivada do segundo termo
em relação a . Note que é tratado como constante ao derivar em . Então
Dentro do parêntese,
é constante em relação a
, então
Aplicando novamente a regra da cadeia para
e
:
onde usei
por
ser de classe
.
Passo 5
Juntando tudo obtemos a expressão para
:
com todas as derivadas de
avaliadas no ponto
Isto responde a parte (a): a fórmula geral de
em função das derivadas parciais de
.
Passo 6
Agora parte (b). Primeiro extraímos
,
e
do plano tangente. O plano tangente ao gráfico de
em
tem equação
O enunciado dá o plano
. Reescrevendo:
Comparando os coeficientes das variáveis, obtemos
Para encontrar
, avalie o plano em
:
Passo 7
Determine onde devemos avaliar as derivadas no cálculo de
. Para
,
Ou seja, todas as derivadas de
necessárias para avaliar
são precisamente as avaliadas em
, e estamos dados
,
,
. Também já temos
,
,
do passo anterior.
Passo 8
Agora substituímos os valores na fórmula de
:
A fórmula geral (repetindo) é
A fórmula geral (repetindo) é
avaliada em
.
Substituindo
e as derivadas em
:
Calcule o termo interno:
então
E
Somando esses dois termos internos:
Multiplicando por
:
Finalmente:
Resposta
(a)
(b)