Ache a derivada direcional máxima de
no ponto
dado e dê a direção em que ela ocorre.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
e pede duas coisas:
- Qual é a derivada direcional máxima de
no ponto ? - Em que direção (vetor) essa derivada máxima ocorre?
Informações dadas:
Passo 2
Vou explicar a relação fundamental que usamos para resolver o problema. Seja
um vetor unitário (ou seja,
). A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é definida por
Aqui:
-
é o gradiente de , o vetor que reúne as derivadas parciais: . - O produto escalar
mede a componente do gradiente na direção de .
Importante: a derivada direcional é máxima quandoaponta na mesma direção do gradiente. O valor máximo é o módulo do gradiente no ponto, isto é . Vou mostrar por que isso vale no passo seguinte.
Passo 3
Breve demonstração da afirmação do passo anterior (usando desigualdade de Cauchy–Schwarz). Para qualquer vetor unitário
,
A igualdade acontece se, e somente se,
for colinear com
na mesma orientação (ou seja,
é o vetor gradiente normalizado). Essa é a razão teórica: a derivada direcional máxima em um ponto é o comprimento do gradiente e ocorre na direção do gradiente.
Passo 4
Agora calculamos o gradiente de
. Precisamos das derivadas parciais
e
.
Calcule
: trate
como constante e derive em relação a
.
Calcule
: derive termo a termo. Para
usamos a regra da cadeia (derivada de
é
multiplicada por
); para
a derivada é
.
Portanto, o gradiente é
Passo 5
Agora avaliamos o gradiente no ponto
. Primeiro observe que
. Substituindo:
Assim,
Passo 6
Do passo 3 sabemos que a derivada direcional máxima no ponto é o módulo do gradiente naquele ponto. Calculemos o módulo de
:
A direção em que essa máxima ocorre é a direção do gradiente. O vetor unitário nessa direção é o gradiente dividido pelo seu módulo:
(Se preferir valores aproximados,
e
.)