Ache a derivada direcional máxima de f no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) dado e dê a direção em que ela ocorre.
f(x, y)=x e^{-y}+3 y,\left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,0);

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto \left(x_{0},y_{0}\right) e pede duas coisas:
  • Qual é a derivada direcional máxima de f no ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,0)?
  • Em que direção (vetor) essa derivada máxima ocorre?
Informações dadas:
f(x,y)=x e^{-y}+3y,\qquad (x_{0},y_{0})=(1,0).

Passo 2

Vou explicar a relação fundamental que usamos para resolver o problema. Seja \mathbf{u} um vetor unitário (ou seja, \|\mathbf{u}\|=1). A derivada direcional de f no ponto (x_{0},y_{0}) na direção de \mathbf{u} é definida por
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot \mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f(x,y) é o gradiente de f, o vetor que reúne as derivadas parciais: \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
  • O produto escalar \nabla f\cdot\mathbf{u} mede a componente do gradiente na direção de \mathbf{u}.
    Importante: a derivada direcional é máxima quando \mathbf{u} aponta na mesma direção do gradiente. O valor máximo é o módulo do gradiente no ponto, isto é \|\nabla f(x_{0},y_{0})\|. Vou mostrar por que isso vale no passo seguinte.

Passo 3

Breve demonstração da afirmação do passo anterior (usando desigualdade de Cauchy–Schwarz). Para qualquer vetor unitário \mathbf{u},
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u}\le \|\nabla f(x_{0},y_{0})\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\nabla f(x_{0},y_{0})\|.
A igualdade acontece se, e somente se, \mathbf{u} for colinear com \nabla f(x_{0},y_{0}) na mesma orientação (ou seja, \mathbf{u} é o vetor gradiente normalizado). Essa é a razão teórica: a derivada direcional máxima em um ponto é o comprimento do gradiente e ocorre na direção do gradiente.

Passo 4

Agora calculamos o gradiente de f. Precisamos das derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial x}: trate y como constante e derive em relação a x.
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{-y}+3y\bigr)=e^{-y}.
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}: derive termo a termo. Para x e^{-y} usamos a regra da cadeia (derivada de e^{-y} é -e^{-y} multiplicada por x); para 3y a derivada é 3.
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{-y}+3y\bigr)=-x e^{-y}+3.
Portanto, o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(e^{-y},\,-x e^{-y}+3\bigr).

Passo 5

Agora avaliamos o gradiente no ponto (x_{0},y_{0})=(1,0). Primeiro observe que e^{-0}=1. Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=e^{0}=1,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=-1\cdot e^{0}+3=-1+3=2.
Assim,
\nabla f(1,0)=\bigl(1,\,2\bigr).

Passo 6

Do passo 3 sabemos que a derivada direcional máxima no ponto é o módulo do gradiente naquele ponto. Calculemos o módulo de \nabla f(1,0):
\|\nabla f(1,0)\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.
A direção em que essa máxima ocorre é a direção do gradiente. O vetor unitário nessa direção é o gradiente dividido pelo seu módulo:
\mathbf{u}_{\text{máx}}=\frac{\nabla f(1,0)}{\|\nabla f(1,0)\|=\sqrt{5}}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\right).á
(Se preferir valores aproximados, \dfrac{1}{\sqrt{5}}\approx 0{,}447 e \dfrac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}894.)

Resposta

\sqrt{5}
\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}},\,\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)

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