Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável e admitamos que
\pi: 2 x-3 y-z=3
seja o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,-1, f(1,-1) ).
(a) Determine os valores de f(1,-1), \nabla f(1,-1) e f_{v}(1,-1), onde v=(5,-1).
(b) Considerando g(u, v) \doteq \sin (u v)-f\left(u+v, v-e^{u v}\right), determine \nabla g(1,0).
(c) Considerando \varphi(t) \doteq f\left(e^{t}+\sin (4 t), t-e^{-t}\right), determine \varphi^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • O plano \pi é dado por
    2x-3y-z=3.
    • Esse plano \pi é o plano tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(1,-1,f(1,-1)\bigr).
    • O vetor v é v=(5,-1).
    • A função g é definida por
    g(u,v)\doteq \sin(uv)-f\bigl(u+v,\;v-e^{uv}\bigr).
    • A função \varphi é definida por
    \varphi(t)\doteq f\bigl(e^{t}+\sin(4t),\;t-e^{-t}\bigr).
  • Perguntas:
    (a) Determine f(1,-1), \nabla f(1,-1) e f_{v}(1,-1) onde v=(5,-1).
    (b) Determine \nabla g(1,0).
    (c) Determine \varphi'(0).

Passo 2

Entendendo o que significa dizer que um plano é o plano tangente ao gráfico de f em \bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr).
  • Para uma função diferenciável f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, o plano tangente no ponto \bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr) tem a forma
z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
  • Aqui f_x(x_0,y_0) e f_y(x_0,y_0) são as derivadas parciais de f naquele ponto. Esse é o conceito que vamos usar para comparar com a equação do plano dado.

Passo 3

Determine f(1,-1) comparando a equação do plano com a forma do plano tangente.
  • Primeiro escrevo a equação do plano dada em forma z=\cdots. Da equação
2x-3y-z=3
isolo z:
z=2x-3y-3.
  • Avalio esse z no ponto (x,y)=(1,-1):
z\big|_{(1,-1)}=2\cdot 1 -3\cdot(-1)-3 = 2+3-3 = 2.
  • Como o plano é tangente no ponto \bigl(1,-1,f(1,-1)\bigr), o valor de z obtido é f(1,-1). Portanto
f(1,-1)=2.

Passo 4

Determine as derivadas parciais f_x(1,-1) e f_y(1,-1) comparando coeficientes.
  • A forma geral do plano tangente é
z=f(1,-1)+f_x(1,-1)(x-1)+f_y(1,-1)(y+1).
  • Já determinamos f(1,-1)=2, logo expandindo obtemos
z=2 + f_x(1,-1)(x-1) + f_y(1,-1)(y+1).
  • Compare com a forma obtida do plano dado:
z = 2x-3y-3.
  • Para igualar os dois lados, compare os coeficientes de x, de y e o termo constante. Podemos reescrever a expressão do plano tangente em termos de x e y:
z = 2 + f_x(1,-1)x - f_x(1,-1)\cdot 1 + f_y(1,-1)y + f_y(1,-1)\cdot 1.
Ou agrupando coeficientes, o coeficiente de x é f_x(1,-1) e o de y é f_y(1,-1).
  • Comparando com z=2x-3y-3 obtemos diretamente
f_x(1,-1)=2,\qquad f_y(1,-1)=-3.
(Conferir constante também dá 2 - f_x(1,-1)+f_y(1,-1) = -3, que é consistente com os valores encontrados.)

Passo 5

Forme o gradiente e explique o que é o gradiente.
  • O gradiente de f em (1,-1) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(1,-1)=\bigl(f_x(1,-1),\;f_y(1,-1)\bigr)=(2,-3).
  • Lembrete didático: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e suas componentes são as taxas de variação de f nas direções dos eixos x e y.

Passo 6

Calcule f_v(1,-1), a derivada direcional na direção v=(5,-1), e explique a convenção usada.
  • Convenção usada: aqui entendemos f_v(1,-1) como a derivada direcional de f na direção do vetor unitário na direção de v. Ou seja primeiro normalizamos v para obter u=\dfrac{v}{\|v\|}, e então
f_v(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot u.
  • Calcule a norma de v:
\|v\|=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.
  • O vetor unitário é
u=\frac{1}{\sqrt{26}}(5,-1).
  • Produto escalar com o gradiente:
\nabla f(1,-1)\cdot u = (2,-3)\cdot\frac{1}{\sqrt{26}}(5,-1) = \frac{1}{\sqrt{26}}\bigl(2\cdot 5 + (-3)\cdot(-1)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{26}}(10+3)=\frac{13}{\sqrt{26}}.
  • Podemos simplificar \dfrac{13}{\sqrt{26}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{26}. Portanto
f_v(1,-1)=\frac{13}{\sqrt{26}}=\frac{1}{2}\sqrt{26}.

Passo 7

Agora resolve (b): calcule \nabla g(u,v) de forma geral usando regra da cadeia e depois avalie em (1,0).
  • Defina funções auxiliares:
    • A(u,v)=\sin(uv).
    • B(u,v)=f\bigl(u+v,\;v-e^{uv}\bigr).
    • Assim g(u,v)=A(u,v)-B(u,v).
  • Derivadas parciais de A (fácil):
A_u = v\cos(uv),\qquad A_v = u\cos(uv).
  • Para B, use a regra da cadeia para derivadas parciais. Se U(u,v)=u+v e V(u,v)=v-e^{uv}, então B(u,v)=f(U,V) e
B_u = f_x(U,V)\,U_u + f_y(U,V)\,V_u,
B_v = f_x(U,V)\,U_v + f_y(U,V)\,V_v.
  • Calcule as derivadas parciais de U e V:
U_u=1,\quad U_v=1,
V_u = -\frac{\partial}{\partial u} e^{uv} = -v e^{uv},\quad V_v = 1-\frac{\partial}{\partial v} e^{uv} = 1 - u e^{uv}.
  • Logo
B_u = f_x(U,V) - v e^{uv}\,f_y(U,V),
B_v = f_x(U,V) + \bigl(1-ue^{uv}\bigr)f_y(U,V).
  • Como g=A-B, temos
g_u = v\cos(uv) - \bigl(f_x(U,V) - v e^{uv} f_y(U,V)\bigr) = v\cos(uv) - f_x(U,V) + v e^{uv} f_y(U,V),
g_v = u\cos(uv) - \bigl(f_x(U,V) + (1-ue^{uv})f_y(U,V)\bigr) = u\cos(uv) - f_x(U,V) - f_y(U,V) + u e^{uv} f_y(U,V).

Passo 8

Avalie \nabla g(1,0) usando os valores de f_x e f_y já encontrados.
  • Primeiro calcule quantidades em (u,v)=(1,0):
    • uv=0, então \cos(uv)=\cos 0=1 e e^{uv}=1.
    • U=u+v=1+0=1.
    • V=v-e^{uv}=0-1=-1.
    • Já temos f_x(1,-1)=2 e f_y(1,-1)=-3.
  • Substituindo em g_u:
g_u(1,0)= v\cos(uv) - f_x(U,V) + v e^{uv} f_y(U,V) = 0\cdot 1 - 2 + 0\cdot 1\cdot(-3)= -2.
  • Substituindo em g_v:
g_v(1,0)= u\cos(uv) - f_x(U,V) - f_y(U,V) + u e^{uv} f_y(U,V) = 1\cdot 1 - 2 - (-3) + 1\cdot 1\cdot(-3).
  • Simplifique passo a passo:
    • 1 - 2 - (-3) + (-3) = 1 - 2 + 3 - 3 = -1.
  • Logo
\nabla g(1,0)=\bigl(g_u(1,0),\;g_v(1,0)\bigr)=(-2,-1).

Passo 9

Agora resolve (c): calcule \varphi'(0) usando a regra da cadeia para composição com uma função de variável real.
  • Escreva \varphi(t)=f\bigl(U(t),V(t)\bigr) com
U(t)=e^{t}+\sin(4t),\qquad V(t)=t-e^{-t}.
  • A derivada de \varphi é, pela regra da cadeia (produto do gradiente pela derivada do vetor interior),
\varphi'(t)=f_x\bigl(U(t),V(t)\bigr)\,U'(t) + f_y\bigl(U(t),V(t)\bigr)\,V'(t).
  • Calcule U'(t) e V'(t):
U'(t)=e^{t}+4\cos(4t),\qquad V'(t)=1+e^{-t}.
(Explicação rápida: \dfrac{d}{dt}\sin(4t)=4\cos(4t) e \dfrac{d}{dt}(-e^{-t})=+e^{-t}.)
  • Avalie em t=0:
    • U(0)=e^{0}+\sin 0=1+0=1.
    • V(0)=0-e^{0}=-1.
    • U'(0)=e^{0}+4\cos 0 = 1+4=5.
    • V'(0)=1+e^{0}=1+1=2.
    • E já sabemos f_x(1,-1)=2, f_y(1,-1)=-3.
  • Logo
\varphi'(0)=2\cdot 5 + (-3)\cdot 2 = 10 - 6 = 4.

Resposta

(a) f(1,-1)=2,\\ \nabla f(1,-1)=(2,-3),\\ f_{v}(1,-1)=\dfrac{13}{\sqrt{26}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{26}.
(b) \nabla g(1,0)=(-2,-1).
(c) \varphi'(0)=4.

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