Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável e admitamos que
\pi: 2 x-3 y-z=3
seja o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,-1, f(1,-1) ).
(a) Determine os valores de f(1,-1), \nabla f(1,-1) e f_{v}(1,-1), onde v=(5,-1).
(b) Considerando g(u, v) \doteq \sin (u v)-f\left(u+v, v-e^{u v}\right), determine \nabla g(1,0).
(c) Considerando \varphi(t) \doteq f\left(e^{t}+\sin (4 t), t-e^{-t}\right), determine \varphi^{\prime}(0).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
Informações dadas:
O plano \pi é dado por
2x-3y-z=3.
Esse plano \pi é o plano tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(1,-1,f(1,-1)\bigr).
Aqui f_x(x_0,y_0) e f_y(x_0,y_0) são as derivadas parciais de f naquele ponto. Esse é o conceito que vamos usar para comparar com a equação do plano dado.
Passo 3
Determine f(1,-1) comparando a equação do plano com a forma do plano tangente.
Primeiro escrevo a equação do plano dada em forma z=\cdots. Da equação
Como o plano é tangente no ponto \bigl(1,-1,f(1,-1)\bigr), o valor de z obtido é f(1,-1). Portanto
f(1,-1)=2.
Passo 4
Determine as derivadas parciais f_x(1,-1) e f_y(1,-1) comparando coeficientes.
A forma geral do plano tangente é
z=f(1,-1)+f_x(1,-1)(x-1)+f_y(1,-1)(y+1).
Já determinamos f(1,-1)=2, logo expandindo obtemos
z=2 + f_x(1,-1)(x-1) + f_y(1,-1)(y+1).
Compare com a forma obtida do plano dado:
z = 2x-3y-3.
Para igualar os dois lados, compare os coeficientes de x, de y e o termo constante. Podemos reescrever a expressão do plano tangente em termos de x e y:
Lembrete didático: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e suas componentes são as taxas de variação de f nas direções dos eixos x e y.
Passo 6
Calcule f_v(1,-1), a derivada direcional na direção v=(5,-1), e explique a convenção usada.
Convenção usada: aqui entendemos f_v(1,-1) como a derivada direcional de f na direção do vetor unitário na direção de v. Ou seja primeiro normalizamos v para obter u=\dfrac{v}{\|v\|}, e então