Seja f(x, y) uma função de classe C^2 tal que nabla f(x, y)=(2 x-y cos x, 2-sen x), com f(0,0)=0.
Determine o valor e a direção da maior derivada direcional de f no ponto (0,0).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função de classe C² f(x,y) cuja informação disponível é o gradiente nabla f(x,y)=(2x - ycos x,,2-sin x) e a condição f(0,0)=0. O conteúdo aqui é derivada direcional e propriedades do gradiente. Para resolver, vamos usar que a derivada direcional em um ponto p na direção do vetor unitário u é dadas por Duf(p)=nabla f(p)cdot u, e que seu valor máximo ocorre na direção de nabla f(p) com magnitude |nabla f(p)|.

Passo 2

Avaliar o gradiente no ponto (0,0): basta substituir x=0 e y=0 em nabla f(x,y). Temos
nabla f(0,0)=(2cdot0-0cos0,;2-sin0)=(0,2)

Passo 3

Calcular o valor da maior derivada direcional: é a norma de nabla f(0,0). Logo
|nabla f(0,0)|=raiz0^2+2^2=2

Passo 4

Determinar a direção da maior derivada direcional: é o vetor unitário paralelo a nabla f(0,0)=(0,2). Assim
u=1|nabla f(0,0)|(0,2)=l(0,1r)

Resposta

O valor da maior derivada direcional em (0,0) é 2, e a direção corresponde ao vetor (0,1).

Exercícios relacionados