A probabilidade P de lucro na compra de um determinado ativo Y pode ser modelada em função de três variáveis, o grau de comprometimento k do mercado com o ativo ( 0 <= k <= 5 ), a estabilidade geral n do mercado (0 <= n <= 1) e a capacidade de crescimento t da economia mundial (-1 <= t <= 1). Suponha que o modelo que melhor estima P seja dado por:
P(k, n, t)=12 cdot(1+sen(t e^(k n-5)2 pi))
Determine a taxa de variação da probabilidade de lucro na compra do ativo Y em relação a variações na capacidade de crescimento da economia na situação do item anterior.

Passo 1

O enunciado fornece o modelo de probabilidade
P(k,n,t)=12l(1+sinl(t e^(kn-5)2pir)r)
e pede a taxa de variação de P em relação a t. O conteúdo principal é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para encontrar partial Ppartial t, aplicamos a derivada de P(k,n,t) em relação a t. Note que há um fator tfrac12 e uma função sin de um argumento que depende de t.

Passo 3

Usando a regra da cadeia, temos
partial Ppartial t=12cdotcosl(t e^(kn-5)2pir)cdotpartialpartial tl(t e^(kn-5)2pir)

Passo 4

Agora derivamos o argumento interno
partialpartial tl(t e^(kn-5)2pir)=e^(kn-5)cdotpi2

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
partial Ppartial t=12cdotcosl(t e^(kn-5)2pir)cdot e^(kn-5)cdotpi2 = pi e^(kn-5)4cosl(pi t e^(kn-5)2r)

Resposta

partial Ppartial t=pi e^kn-54cosl(tfracpi t e^(kn-5)2r).

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